Elektrosztatika példák - A potenciál változása egyenletesen töltött körlap tengelye mentén

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Elektromos potenciál
Feladatok listája:
  1. Potenciál számítása a térerősségből
  2. Elektromos térerősség kiszámítása a potenciálból
  3. Töltésen végzett munka
  4. A potenciál változása egyenletesen töltött körlap tengelye mentén
  5. Párhuzamos végtelen síklapok potenciáltere
  6. Összeolvadt esőcseppek potenciálja
  7. Fém gömbhéjjal koncentrikusan körülvett töltött fémgömb esetén kialakuló potenciáltér
  8. Töltéssel ellátott koaxiális fémhengerek közötti potenciálkülönbség
  9. A potenciál töltött fémszállal koaxiális fémhenger esetén
  10. Vezető félgömb potenciálja a gömb középpontjában
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú szigetelő körlemezre \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltést viszünk egyenletes felületi töltéssűrűséggel. A kör középpontja felett, a kör síkjától \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra mekkora a potenciál?

Megoldás


KFGY2-2-4uj.png

Először határozzuk meg a felület töltéssűrűségét:

\[\omega=\dfrac{Q}{R^2\pi} \]

Ezt követően parametrizáljuk a körlap felületét \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% polárkoordináták szerint. Válasszunk ki egy \setbox0\hbox{$d\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szög alatt látszódó, a középponttól \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra levő kicsiny felületdarabot, melynek sugár irányú szélessége \setbox0\hbox{$dr$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (1. ábra). Ezen infinitezimális felületelem \setbox0\hbox{$dQ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltése:

\[dQ=\omega rd\varphi dr\]

Ezen infinitezimális felületelem ponttöltésnek tekinthető, melynek \setbox0\hbox{$dU$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciál járuléka a kérdéses pontban:

\[dU=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dQ}{t}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\omega r}{t}d\varphi dr\]

Ahol \setbox0\hbox{$t=\sqrt{r^2+z^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a felületelem és a kérdéses pont távolsága. Ha a teljes felület által keltett potenciálra vagyunk kíváncsiak, a szuperpozíció elve alapján skalárisan összegeznünk kell az egyes felületelemek \setbox0\hbox{$dU$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciál járulékait:

\[U=\int_0^R \int_0^{2\pi}dU=\dfrac{\omega}{4\pi\varepsilon_0} \int_0^R \int_0^{2\pi} \dfrac{r}{(r^2+z^2)^{1/2}}d\varphi dr\]
\[U=\dfrac{\omega}{4\pi\varepsilon_0} 2\pi\int_0^R  \dfrac{r}{(r^2+z^2)^{1/2}} dr=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}\left( \sqrt{R^2+z^2}-z\right)\]

Behelyettesítve a felületi töltéssűrűségre kapott összefüggést:

\[U=\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2}\left( \sqrt{R^2+z^2}-z\right)\]

Érdekesség: Érdemes kiszámítani a kapott \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciál negatív gradiensét:

\[E=-\dfrac{\partial U}{\partial z}=-\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}\left( \dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-1\right)\]

Mely megadja a kérdéses pontban a térerősséget. Ezt vessük össze az Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér feladat megoldásával, ahol ugyanezen elrendezés elektromos terét kellett meghatározni térerősség vektorok összegzésével:

\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)\]