Elektrosztatika példák - Fém gömbhéjjal koncentrikusan körülvett töltött fémgömb esetén kialakuló potenciáltér

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Elektromos potenciál
Feladatok listája:
  1. Potenciál számítása a térerősségből
  2. Elektromos térerősség kiszámítása a potenciálból
  3. Töltésen végzett munka
  4. A potenciál változása egyenletesen töltött körlap tengelye mentén
  5. Párhuzamos végtelen síklapok potenciáltere
  6. Összeolvadt esőcseppek potenciálja
  7. Fém gömbhéjjal koncentrikusan körülvett töltött fémgömb esetén kialakuló potenciáltér
  8. Töltéssel ellátott koaxiális fémhengerek közötti potenciálkülönbség
  9. A potenciál töltött fémszállal koaxiális fémhenger esetén
  10. Vezető félgömb potenciálja a gömb középpontjában
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője \setbox0\hbox{$R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    a) Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.
    b) Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.
    c) Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?
    d) Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, ha \setbox0\hbox{$E_{kr}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% dielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük?

Megoldás


a) Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az \setbox0\hbox{$R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú gömb töltése \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% akkor a külső gömb belső felületén \setbox0\hbox{$-Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, külső felületén pedig \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés jön létre.

A belső gömb felszínére felírva a Gauss-tételt:

\[E\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi\]
\[E=\frac{\omega}{\epsilon_{0}}\]

A külső gömb külső sugara \setbox0\hbox{$R_{3} = R_{2}+d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erre felírva a Gauss-tételt:

\[E\cdot 4\cdot R_{3}^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi\]
\[E=\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot R_{3}^{2}}\]

b) Különböztessünk meg négy esetet és írjuk fel rájuk a Gauss tételt:
1: \setbox0\hbox{$r < R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%

\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0\]

2: \setbox0\hbox{$R_{1} < r < R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%

\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow E= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\]

3: \setbox0\hbox{$R_{2} < r < R_{3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%

\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0\]

4.a: (földeletlen): \setbox0\hbox{$R_{3} < r $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%

\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow E= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\]

4.b: (földelet): \setbox0\hbox{$R_{3} < r $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%

Ekkor annyi töltés jelenik meg a külső gömb külső felszínén, hogy a külső gömb összes töltése \setbox0\hbox{$-Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% legyen.

\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0\]

c) A gömbök közötti potenciálkülönbség:

\[\Delta U = -\int_{R_{1}}^{R_{2}}\vec{E}\vec{dr}=-\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\vec{dr}\]
\[ \Delta U = \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]
d) A legnagyobb térerősség a belső gömbbe felszínén van:\setbox0\hbox{$E_{max} = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezzel felírva a gömbök közötti potenciálkülönbséget:
\[ \Delta U = E_{max}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]

A gömbre, akkora potenciálkülönbséget rakhatunk, hogy a kialakuló tér maximális értéke ne legyen nagyobb mint \setbox0\hbox{$E_{kr}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% . Ezzel a gömbökre kapcsolható legnagyobb potenciálkülönbség:

\[ \Delta U = E_{kr}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]