Elektrosztatika példák - Hengeres vezetékből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú egyenes hengeres vezeték párhuzamosan helyezkedik el egy végtelen vezető síkkal. A vezeték keresztmetszetének sugara $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a távolság a vezeték síkhoz legközelebbi pontja és a sík között $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora a rendszer kapacitása? ($\setbox0\hbox{$a<<d<<l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

Megoldás

Induljunk ki az előző, Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása megoldásából. Ott kiszámítottuk, hogy két egymástól $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő párhuzamos, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú fémhenger kapacitása:

$\[C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}\]$

Válasszuk a hengerek távolságát $\setbox0\hbox{$b=2d+a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nak (a $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ paraméter jelentését, lsd. 4. feladat ábráján). Ebben az esetben a kapacitás:\

$\[C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d}{a} \right)}\]$

Vegyük észre, hogy a párhuzamos hengerek 1. ábrán jelölt szimmetriasíkja egy ekvipotenciális felület. Ez könnyen belátható, hiszen ezt a síkot az elektromos tér erővonalai mindenütt merőlegesen döfik. Emiatt a síkban egy próbatöltést tetszőlegesen mozgathatunk munkavégzés nélkül, tehát a sík pontjai azonos potenciálon vannak.

S ha így van, egy vékony fémlapot is elhelyezhetünk ebben a síkban anélkül, hogy az elektromos tér változást szenvedne. Az így kapott elrendezés ekvivalens két sorba kapcsolt síklap-henger kondenzátorral, mely a jelen feladat kitűzésében szerepel. Gondolatkísérletünkkel tehát beláttuk, hogy a $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitású síklap-henger kondenzátor, és a fent hivatkozott $\setbox0\hbox{$C^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitású henger-henger kondenzátor kapacitásaira igaz az alábbi összefüggés:

$\[\dfrac{1}{C^*}=\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C}\]$

Ebből kifejezve $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t:

$\[C=2C^*=\dfrac{2 \pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d}{a} \right)}\]$