Elektrosztatika példák - Homogén térfogati töltéssűrűségű töltött gömb elektromos tere

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
Feladatok listája:
  1. Négyszög sarkaiba helyezett ponttöltések elektromos tere
  2. Két töltést összekötő egyenes mentén az elektromos tér
  3. Körvezető tengelye mentén az elektromos tér
  4. Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér
  5. Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 1.
  6. Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2.
  7. Végtelen sík elektromos tere
  8. Két, egymásra merőleges végtelen sík elektromos tere
  9. Homogén térfogati töltéssűrűségű töltött gömb elektromos tere
  10. Földelt gömbhéjjal koncentrikusan körülvett egyenletesen töltött gömb elektromos tere
  11. Egyenletesen töltött gömbben lévő, gömb alakú üreg elektromos tere
  12. Végtelen hosszú egyenes fonálpár elektromos tere
  13. Az elektromos térerősség helyfüggő lineáris töltéssűrűségű szigetelő gyűrű tengelye mentén
  14. Vezető gömbhéjjal koncentrikusan körülvett egyenletesen töltött gömb elektromos tere
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú gömbben egyenletes \setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!

Megoldás


KFGY2-1-9 a.png

Vegyünk fel egy \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú gömbfelületet, mely koncentrikus a töltött gömbbel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor:


\[\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV\]

Ha a töltött gömb belsejében vizsgáljuk a teret, a Gauss-felület sugara kisebb, mint a gömbé (\setbox0\hbox{$R>r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). Ekkor a felület által bezárt

töltések mennyisége:

\[Q=\frac{4}{3} r^{3}\pi\rho\]

A rendszer gömbszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a térerősség a Gauss-felület minden pontjában merőleges a felületre, és nagysága

a felület minden pontjában állandó. Ezt kihasználva a felületi integrált helyettesíthetjük a a kérdéses \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősség nagyságának és a

teljes \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Gauss felületnek szorzatával:

\[\int\int\vec{E}\cdot\vec{dA} =EA\]

Ennek ismeretében a Gauss törvény:

\[E \cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot r^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]

Melyből a kérdéses térerősséget kifejezve:

\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}\]
KFGY2-1-9 b.png

A gömbön kívüli térben (\setbox0\hbox{$R<r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a Gauss-felület a töltött gömb teljes töltésmennyiségét magába zárja:

\[Q=\frac{4}{3}R^3\pi\rho \]

Ennek ismeretében a Gauss-törvény:

\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot R^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]
\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}\]

Ezt ábrázolva:

KFGY2-1-9.png