Elektrosztatika példák - Síkkondenzátoron végzett munka

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
Feladatok listája:
  1. Gömbkondenzátor kapacitása
  2. R sugarú fémgömb kapacitása
  3. Hengerkondenzátor kapacitása
  4. Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása
  5. Hengeres vezetékből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása
  6. Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása
  7. Fémgömbből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása
  8. Síkkondenzátoron végzett munka
  9. Egyenletesen töltött gömbtérfogat energiája
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Síkkondenzátor \setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% területű lemezei között levegő van. Mennyi munkát kell végezni ahhoz, hogy a lemezek közötti távolságot lassan \setbox0\hbox{$x_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ről \setbox0\hbox{$x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re növeljük, ha a folyamat során
    a) a lemezekre vitt \setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltést;
    b) a lemezek közötti \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültséget tartjuk állandónak?

Megoldás


a) Ha a lemezeken levő \setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés álladó, akkor gyakorlatilag a \setbox0\hbox{$+q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű lemez terében mozgatjuk a \setbox0\hbox{$-q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű másik lemezt. A mozgatáshoz szükséges munkavégzést kell kiszámítani. A \setbox0\hbox{$+q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű lemez felületi töltéssűrűsége:

\[\omega=\dfrac{q}{S}\]

A nagy kiterjedésű \setbox0\hbox{$+\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű lemez által keltett elektromos tér nagysága Gauss törvény segítségével könnyen kiszámítható (1. feladatsor 9. feladat)

\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}=\dfrac{q}{2S\varepsilon_0}\]

Ebben az elektromos térben a \setbox0\hbox{$-q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű lemezre ható erő:

\[F=-qE=-\dfrac{q^2}{2S\varepsilon_0}\]

Az \setbox0\hbox{$x_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-től \setbox0\hbox{$x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ig történő mozgatás során az erőtér munkája:

\[W_{eroter}=F(x_2-x_1)=-\dfrac{q^2}{2S\varepsilon_0}(x_2-x_1)\]

Mivel az erőtér által kifejtett erő ellenében dolgozunk, a mi munkánk pont az ellentettje az erőtér munkájának:

\[W=-W_{eroter}=\dfrac{q^2}{2S\varepsilon_0}(x_2-x_1)\]

b) Ha a lemezek közti \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciálkülönbség állandó, a lemezek közti tér könnyen meghatározható:

\[E=\dfrac{U}{x}\]

Tudvalevő, hogy ez a tér az \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a \setbox0\hbox{$-\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű lap által keltett \setbox0\hbox{$E_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$E_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősség-járulékokból tevődik össze. Kellően nagy felületek esetén a Gauss törvény segítségével meghatározható, hogy:

\[|E_1|=|E_2|=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}\]

Belátható továbbá az is, hogy a lemezek közti térben az \setbox0\hbox{$E_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$E_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősség járulék egymást erősítve hozza létre az ott mérhető \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% teret.

\[E=|E_1|+|E_2|=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}+\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}=\dfrac{\omega}{\varepsilon_0}\]

A fentiek alapján felírhatjuk a a lemezek közti \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősségre az alábbi egyenletet:

\[\dfrac{U}{x}=E=\dfrac{\omega}{\varepsilon_0}\]

Melyből az ismeretlen \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületi töltéssűrűséget kifejezve:

\[\omega=\dfrac{\varepsilon_0 U}{x}\]

Ez alapján már meg tudjuk határozni, hogy a \setbox0\hbox{$+\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltéssűrűségű lemez \setbox0\hbox{$E_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektromos terében mekkora erő hat a másik, \setbox0\hbox{$q=-\omega S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű lemezre az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság függvényében:

\[F=qE_1=-\omega S\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}=-\dfrac{\omega^2S}{2\varepsilon_0}=-\dfrac{\left(\dfrac{\varepsilon_0 U}{x} \right)^2S}{2\varepsilon_0}=-\dfrac{\varepsilon_0 U^2 S}{2 x^2}\]

Az \setbox0\hbox{$x_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-től \setbox0\hbox{$x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ig történő mozgatás során az erőtér munkája:

\[W_{eroter}=\int_{x_1}^{x_2}F_{(x)}dx=-\dfrac{\varepsilon_0 U^2 S}{2}\int_{x_1}^{x_2} \dfrac{1}{x^2}dx=-\dfrac{\varepsilon_0 U^2 S}{2} \left( \dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2} \right)\]

Mivel az erőtér által kifejtett erő ellenében dolgozunk, a mi munkánk pont az ellentettje az erőtér munkájának:

\[W=-W_{eroter}=\dfrac{\varepsilon_0 U^2 S}{2} \left( \dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2} \right)\]