Elektrosztatika példák - Változó permittivitású dielektrikummal töltött síkkondenzátor

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
Feladatok listája:
  1. Kétrétegű dielektrikummal töltött síkkondenzátor
  2. Fémlappal töltött síkkondenzátor
  3. Változó permittivitású dielektrikummal töltött síkkondenzátor
  4. Dielektriumba helyezett fémgömb potenciáltere
  5. Dielektrikummal határolt végtelen töltött henger
  6. Szigetelővel töltött hengerkondenzátor
  7. Változó permittivitású dielektrikummal töltött gömbkondenzátor
  8. Síkkondenzátor, munkavégzés
  9. Hengerfelületre feltekert síkkondenzátor
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy síkkondenzátor egymástól \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra lévő fegyverzetei között olyan dielektrikum van, amelynek relatív permittivitása lineárisan változik 1-től 2-ig. A töltéssűrűség abszolút értéke a lemezeken \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Mekkora a feszültség a két fegyverzet között?

Megoldás


A dielektrikum lineáris változása az erővonalakra merőleges rétegzés határeseteként fogható fel. A relatív permittivitás változása lemezek között:

\[\epsilon_r = 1+\frac{x}{d}\]

Az elektromos eltolás vektora a kondenzátor lemezei között konstans, nagysága \setbox0\hbox{$D = \omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezzel szemben az elektromos tér folytonosan változik a lemezek között, mivel:

\[E(x) = \frac{\vec{D}}{\epsilon_0\cdot\epsilon_r(x)} = \frac{\omega}{\left(1+\frac{x}{d}\right)\cdot\epsilon_0}\]

A potenciál a lemezek között pedig a következő:

\[U = \int_0^d E\cdot dx =\int_0^d \frac{\omega}{\left(1+\frac{x}{d}\right)\cdot\epsilon_0} dx = \frac{\omega}{\epsilon_0}\cdot d\cdot\ln(2)\]