Elektrosztatika példák - Változó vezetőképességű anyaggal töltött kocka ellenállása

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Vezetőképesség, áramsűrűség
Feladatok listája:
  1. Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása
  2. Változó vezetőképességű anyaggal töltött kocka ellenállása
  3. Határfelületen kialakult töltéssűrűség
  4. Különböző vezetőképességű anyagok határfelületén az átfolyó áram hatására kialakuló felületi töltéssűrűség
  5. Áramvonalak törési törvénye
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik:
    \[\sigma = \sigma_0\cdot\frac{2a-z}{a}\]
    Számítsuk ki a kocka ellenállását
    a) az alsó és felső;
    b) a két átellenes, oldalsó lap között.

Megoldás


a, A kontinuitási egyenlet miatt:

\[j(z)\cdot a^2 = const. \Rightarrow j(z) = j_0\]

A differenciális Ohm-törvényt felírva:

\[j_0 = E(z)\cdot\sigma(z)\]

amiből:

\[E(z) = \frac{j_0}{\sigma(z)} = \frac{j_0\cdot a}{\sigma_0\left(2a-z\right)}\]

Ebből a potenciálkülönbség a két elektróda között:

\[U = \int_0^a E(z)dz = \frac{j_0\cdot a}{\sigma_0} \cdot\ln\left(2\right)\]

Az áram pedig:

\[I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = j_0\cdot a^2\]

Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:

\[R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}\]

b, Ebben az esetben az áram a vezetőképesség \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú gradiensére merőlegesen folyik. Mivel stacionárius áramlást nézünk, ezért igaz a hurok törvény:

\[\oint \vec{E}\cdot\vec{dl} = 0 \rightarrow E(z_1)a-E(z_2)a = 0 \rightarrow E(z_1) = E(z_2) = E_0 \]

vagyis a kockában homogén, \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re merőleges elektromos tér jön létre. Ezért a potenciálkülönbség a két elektróda között:

\[U = E_0\cdot a\]

Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányban:

\[j(z) = E_0 \cdot \sigma (z) =E_0  \sigma_0\cdot  \dfrac {\left(2a-z\right)}{a} \]

A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg:

\[I = \int \vec{j}\cdot\vec{dA} = \int_0^a E_0 \sigma_0\cdot  \dfrac{\left(2a-z\right)}{a}   \cdot a\cdot dz = \frac{3}{2} a^2 E_0 \sigma_0\]

Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:

\[R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}\]