Elektrosztatika példák - Vezető gömbhéjjal koncentrikusan körülvett egyenletesen töltött gömb elektromos tere

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
Feladatok listája:
  1. Négyszög sarkaiba helyezett ponttöltések elektromos tere
  2. Két töltést összekötő egyenes mentén az elektromos tér
  3. Körvezető tengelye mentén az elektromos tér
  4. Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér
  5. Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 1.
  6. Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2.
  7. Végtelen sík elektromos tere
  8. Két, egymásra merőleges végtelen sík elektromos tere
  9. Homogén térfogati töltéssűrűségű töltött gömb elektromos tere
  10. Földelt gömbhéjjal koncentrikusan körülvett egyenletesen töltött gömb elektromos tere
  11. Egyenletesen töltött gömbben lévő, gömb alakú üreg elektromos tere
  12. Végtelen hosszú egyenes fonálpár elektromos tere
  13. Az elektromos térerősség helyfüggő lineáris töltéssűrűségű szigetelő gyűrű tengelye mentén
  14. Vezető gömbhéjjal koncentrikusan körülvett egyenletesen töltött gömb elektromos tere
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. \setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú szigetelő gömb térfogatában \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés oszlik el egyenletesen. A gömböt egy véges vastagságú fém gömbhéj veszi körül, melynek görbületi sugarai \setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$R_3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A gömbhéj eredő töltése 0.
    a) Határozzuk meg a szigetelő gömbben a térfogati töltéssűrűséget!
    b) Milyen előjelű és milyen nagyságú felületi töltéssűrűség alakul ki az \setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$R_3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú felületeken?
    c) Határozzuk meg a térerősséget az \setbox0\hbox{$r>R_3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugáron!
    d) Rajzoljuk fel jellegre helyesen az elektromos térerősséget, mint a távolság függvényét!

Megoldás


a)

A gömb térfogati töltéssűrűsége:

\[\varrho=\dfrac{Q}{\dfrac{4}{3}R_1^3\pi}\]

b)

A fémfelületen töltésmegosztás jön létre úgy, hogy a fém belsejében a tér nulla lesz, továbbá a fém gömbhéj össztöltése szintén nulla marad. Hogy ez megvalósuljon, a gömbhéj belső, \setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú felületén \setbox0\hbox{$-Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, míg a külső, \setbox0\hbox{$R_3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú felületén \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés halmozódik fel. A felületi töltéssűrűségek tehát egyszerűen kiszámíthatóak:

\[\omega_2=\dfrac{-Q}{4R_2^2\pi}\]

illetve:

\[\omega_3=\dfrac{Q}{4R_3^2\pi}\]

c)

A fém gömbhéjon kívül a térerősséget nem befolyásolja a gömbhéj. Ez a Gauss-törvénnyel egyszerűen belátható. Tehát a térerősség meghatározható úgy, mintha csak a \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű gömb terét kellene kiszámolnunk \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban:

\[E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}\]

d)

KFGY2-1-14.png