Erőtan II. - 4.24

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Erőtan II.
Feladatok listája:
  1. Erőtan II. - 2.1.21
  2. Erőtan II. - 2.1.23
  3. Erőtan II. - 4.2
  4. Erőtan II. - 4.3
  5. Erőtan II. - 4.4
  6. Erőtan II. - 4.8
  7. Erőtan II. - 4.13
  8. Erőtan II. - 4.24
  9. Erőtan II. - 4.37
  10. Erőtan II. - 6.7
  11. Erőtan II. - 6.8
  12. Erőtan II. - 6.10
  13. Erőtan II. - Forgó rotor még egyszer
  14. Erőtan II. - Coriolis
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*4.24) Az Egyenlítőn fekvő repülőtéren három teljesen egyforma ingaóra van. Az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ingaóra a repülőtéren marad, a \setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ingaórát egy kelet, a \setbox0\hbox{$NY$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t egy nyugat felé induló repülőgépre helyezik. Pontosan délben - amikor mindhárom óra ugyanazt az időt mutatja - a repülőgépek elindulnak és egyenletes sebességgel körberepülik a Földet, úgy, hogy egyszerre érjenek vissza a kiindulási repülőtérre. Visszaérkezésükkor az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% óra éppen következő nap déli 12 óra 0 perc 0 másodpercet mutat.
    a) Mindhárom óra ugyanezt az időt mutatja-e? Ha nem, soroljunk fel különböző okokat, melyek az időkülönbséget előidézhetik!
    b) A legjelentősebb hatás figyelembevételével adjuk meg, hogy mennyivel fog többet, illetve kevesebbet mutatni a \setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, illetve az \setbox0\hbox{$NY$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% óra a 24 órás repülés után!

Megoldás

  1. a) Az órák nem fogják ugyanazt az időt mutatni. Ennek egyik oka az, hogy különböző szögsebességgel forgő vonatkoztatási rendszerben vannak nyugalomban, így más a rájuk ható tehetetlenségi erő nagysága. Másik ok származhat relativisztikus effektusokból, de ezekkel itt nem foglalkozunk.
    b) Mindegyik inga forgó vonatkoztatási rendszerben van nyugalomban. A vonatkoztatási rendszerek forgása nem gyorsuló, ezért csak a centrifugális és Coriolis erők léphetnek fel. A Föld nagy \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugara miatt a centrifugális erő nagysága
    \[F_{cf}=m\omega^{2}R\,,\]
    ahol \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a vonatkoztatási rendszer forgásának szögsebessége és \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az ingák tömege. A centrifugális erő a Föld középpontjától kifelé mutat.
    A Coriolis erő nagysága és iránya függ a lengés irányától, azonban a Coriolis-erő a sebességnek csak az irányát változtatja meg, így nem várhatjuk, hogy első rendben befolyásolná a lengés időt.
    A centrifugális erő figyelembevételével az ingára \setbox0\hbox{$F_{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyett egy \setbox0\hbox{$F_{g}-F_{cf}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erő hat. Tehát tekinthetünk úgy a szituárcióra, mintha egy nyugalomban lévő inga esetében a gravitációs gyorsulás \setbox0\hbox{$g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyett \setbox0\hbox{$g-\omega^{2}R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lenne. Így az inga lengésideje \setbox0\hbox{$2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyett
    \[T(\omega)=2\pi\sqrt{\frac{l}{g-\omega^{2}R}}\,,\]
    ahol hangsúlyozzuk, hogy \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nem az inga jellemzője, hanem a vonatkoztatási rendszer forgásának szögsebessége. A különböző ingaórák esetében ez a szögsebesség
    \[\omega_{A}=\frac{2\pi}{t_{day}}\qquad \omega_{K}=2\frac{2\pi}{1\,\mathrm{nap}}=2\omega_{A}\qquad\omega_{NY}=0\,,\]
    ahol \setbox0\hbox{$t_{day}=1 nap$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A Föld adataival
    \[\omega_{A}^{2}R=0,03373\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\]
    jóval kisebb, mint \setbox0\hbox{$g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A \setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% inga esetén is kicsi ez a mennyiség. Az ingák lengésideje
    \[T_{A}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g-\omega_{A}^{2}R}}\qquad T_{K}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g-4\omega_{A}^{2}R}}\qquad T_{NY}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]
    Az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ingaórán mért idő \setbox0\hbox{$t_{A}=t_{day}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A \setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$NY$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ingaórákon mért idő pedig
    \[t_{K}=t_{day}\frac{T_{A}}{T_{K}}=t_{day}\sqrt{\frac{g-4\omega_{A}^{2}R}{g-\omega_{A}^{2}R}}=0,995\cdot t_{day}=1 \,\mathrm{nap} - 7,33 \,\mathrm{perc} \]
    és
    \[t_{NY}=t_{day}\frac{T_{A}}{T_{NY}}=t_{day}\sqrt{\frac{g}{g-\omega_{A}^{2}R}}=1,0017\cdot t_{day}=1 \,\mathrm{nap} + 4,87 \,\mathrm{perc} \,.\]