Hall-effektus

A Fizipedia wikiből


A mérés célja:

  • Félvezető anyagok legfontosabb vezetési jelenségeinek, illetve a transzport paramétereik általánosan elterjedt mérési módszereinek a megismertetése.

A cél érdekében:

  • összefoglaljuk a vezetésre és a mágneses effektusokra vonatkozó legfontosabb elméleti ismereteket,
  • ismertetjük az elektromos vezetőképesség, a mágneses ellenállás és a Hall-effektus mérésének módszereit,
  • vezetőképesség- és Hall-effektus méréseket végzünk szennyezett szilícium (Si) és fém vékonyréteg referencia mintákon.


Tartalomjegyzék



Elméleti összefoglaló

Elektronvezetés félvezetőkben

Az anyagokban külső elektromos tér (\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) hatására létrejött elektromos áram áramsűrűségét (\setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) az ismert

 
\[ j_k = \sigma_{kl} E_l \]
(1)

összefüggés adja meg, ahol az indexek a koordinátatengelyekre utalnak, \setbox0\hbox{$\sigma_{kl}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a fajlagos vezetőképesség tenzora. Az egyenletben az Einstein-féle összegzési konvenciót alkalmaztuk, tehát az \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% indexre összegezni kell. (A jelenségek tenzoros leírásáról részletesebben \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. a "Piezoelektromos állandók mérése" c. segédletet.) Izotróp- vagy elektromos vezetés szempontjából annak tekinthető anyagokban (ilyen például az általunk vizsgált szilícium is) a vezetőképességet egyetlen állandóval jellemezhetjük, és így a fenti egyenlet az egyszerűbb

 
\[ \mathbf{j} = \sigma \mathbf{E} \]
(2)

alakba írható. Az áramsűrűség kifejezhető molekuláris adatokkal is:

 
\[ \mathbf{j} = q n \mathbf{v} \]
(3)

ahol \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a töltéshordozók koncentrációja, \setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% azok töltése és \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a töltéshordozók átlagos sebessége, amely arányos a térerősséggel

 
\[ \mathbf{v} = \mu \mathbf{E} \]
(4)

ahol \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a töltéshordozók mozgékonysága. A (1), (2), (3) és (4) összefüggésekből a vezetőképesség az alábbi módon fejezhető ki:

 
\[ \sigma = q n \mu \]
(5)

Mivel itt csak elektronvezetéssel foglalkozunk, a töltéshordozók töltése adott, így a vezetési tulajdonságokat alapvetően a töltéshordozók koncentrációja és azok mozgékonysága szabja meg. Az alábbiakban a töltéshordozók létrejöttének magyarázatával foglalkozunk.

Tapasztalatból tudjuk, hogy a különböző anyagok elektromos vezetési tulajdonságai igen eltérőek lehetnek: szobahőmérsékleten a legjobb vezetők és a legjobb szigetelők fajlagos ellenállása (vezetőképessége) között durván 25 nagyságrend eltérés van. A jó vezetőkben az elektromos áram elektronok mozgásából származik, míg a legjobb szigetelőkben az elektronáram olyan kicsi, hogy a – csak nagyon kis áramok létrehozására képes – ionmozgások is nagyobb áramot hoznak létre. Azt a tényt, hogy az anyagok elektronmozgásból származó vezetőképessége ilyen széles skálán mozog, a szilárd anyagok sávelméletének segítségével sikerült értelmezni, amelynek legfontosabb eredményeit az alábbiakban vázlatosan összefoglaljuk. A szabályos atomelrendeződésű szilárd anyagokban (a kristályokban) – a különálló atomoktól eltérően – az elektronok nem diszkrét energiaértékekkel rendelkezhetnek, hanem energiájuk bizonyos energiasávokba, az ún. megengedett sávokba, eshet. A sávokban – az atomi energiaszintekhez hasonlóan – meghatározott számú elektron foglalhat helyet, és a sávon belül az elektron energiája gyakorlatilag folytonosan változhat, az elektron tehát mozoghat a betöltetlen állapotok között. Az energiasávok betöltöttségét a legtöbb esetben az határozza meg, hogy milyen a kristályt alkotó atomokban az energiaszintek betöltöttsége. Ha a kristályt alkotó egyedülálló atomban egy energiaszint betöltött, akkor a megfelelő energiasáv a kristályban is betöltött lesz, részben betöltött atomi energiaszintnek pedig részben betöltött energiasáv felel meg. Az energiasávok betöltöttségének a kristály tulajdonságai szempontjából igen nagy jelentősége van: a kristály egy energiasávjában helyet foglaló elektront ugyanis külső elektromos térrel csak akkor lehet könnyen mozgatni, ha energiája könnyen változtatható, azaz a sávon belül vannak üres energiaállapotok. A jó elektromos vezetés alapfeltétele tehát az, hogy a kristályban legyen részben betöltött energiasáv. Az ilyen sávot ennek megfelelően vezetési sávnak nevezik. A kristályok elektronsáv-szerkezetének három alaptípusa van, ezeket az 1. ábrán mutatjuk be.

1.ábra

Ha az elektronokat tartalmazó legmagasabb energiasáv betöltött (1.a ábrán), akkor itt az elektronok külső térrel nem mozgathatók, az elektromos vezetésben nem vesznek részt. Az ilyen betöltött sávot vegyértéksávnak nevezik. Ebben az esetben elektronvezetés csak úgy képzelhető el, hogy energiaközléssel folyamatosan elektronokat juttatunk a magasabb – eredetileg üres – sávba, ahol azok már mozgásképesek lesznek (ilyenkor ez a sáv is részben betöltötté válik, ezért a legfelső betöltött sáv feletti üres sávot is vezetési sávnak nevezik). A folyamatos energiaközlés azért szükséges, mert a vezetési sávba feljuttatott elektronok spontán visszatérnek a vegyértéksávba. Ha nincs olyan külső hatás, amely kellő számú elektront juttatna a vezetési sávba (a szokásosan alkalmazott elektromos terek erre rendszerint nem képesek), akkor az anyagban kis elektromos térrel számottevő elektronáram nem hozható létre. Az ilyen sávszerkezettel rendelkező anyagok a szigetelők. A sávszerkezet másik lehetséges típusa az, amelynél az elektronokat tartalmazó legfelső energiasáv csak részben van betöltve (1.b ábra), így már kis elektromos térrel is jelentős elektronmozgás hozható létre. Az ilyen típusú sávszerkezettel rendelkező anyagok a vezetők. Előfordul, hogy olyan anyagok is jó vezetők, amelyeknek legfelső energiasávja betöltött, tehát tulajdonképpen szigetelőknek kellene lenniük. Ez annak a következménye, hogy a betöltött legfelső energiasáv átfedésbe kerül a felette lévő üres sávval (1.c ábra), ami végeredményben vezető típusú sávszerkezetet eredményez.

Mivel a természetben van egy mindig jelenlévő energiaközlő hatás, a termikus mozgás, a szigetelő típusú anyagokban is létrejöhet elektronvezetés, hiszen a termikus energia révén elektronok juthatnak a vezetési sávba, ahol már külső térrel meghatározott irányú mozgásba hozhatók. Ebből következik, hogy ezeknek az anyagoknak az elektromos tulajdonságait lényegesen befolyásolja a vegyértéksáv és a vezetési sáv között elhelyezkedő energiatartomány, az ún. tilos sáv szélessége (\setbox0\hbox{$E_g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), és az anyag hőmérséklete (\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). Ha az atomok átlagos termikus energiája (nagyságrendben \setbox0\hbox{$kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) összemérhető a tilos sáv szélességével, akkor a vezetési sávban jelentős számú mozgásképes elektron jelenhet meg, és így az anyag elektromos vezetőképessége sok nagyságrenddel nagyobb lehet, mint a legjobb szigetelőké. Ezzel magyarázható az, hogy nem csak jó vezetők és jó szigetelők léteznek, hanem olyan anyagok is, amelyeknek szobahőmérsékleten mért vezetőképessége a 25 nagyságrendet átfogó tartomány közepe táján helyezkedik el. Ezeket az anyagokat félvezetőknek nevezik (szigetelő kis \setbox0\hbox{$E_g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel; 1.d ábra).

2.ábra

Könnyen belátható, hogy a termikus gerjesztés fenti folyamata kettős hatás révén növeli a mozgásképes töltéshordozók számát. Egyrészt elektronokat juttat a vezetési sávba, másrészt a vegyértéksávban üres elektronhelyeket hoz létre (2.ábra), így ott is lehetségessé válik az elektronok energiaváltozása, és ezzel az elektromos töltéstranszportban való részvételük is. A vegyértéksáv elektronjai által létrehozott elektromos áram formálisan egyszerűbben leírható, ha azt nem az elektronoknak a térrel ellentétes irányú mozgásaként, hanem a pozitív töltésű elektronhiányoknak, az ún. lyukaknak a tér irányában történő mozgásaként fogjuk fel. Az elektronoknak a vegyértéksávból a vezetési sávba történő közvetlen gerjesztésével – tehát azonos számú elektronnal és lyukkal (elektron-lyuk párokkal) – létrejött vezetés a tiszta félvezetők jellegzetes vezetési mechanizmusa, amelyet sajátvezetésnek neveznek.

3a.ábra
3b.ábra

Bizonyos szennyező atomok jelenléte egy félvezető anyagban újabb töltéshordozók, és egy új vezetési mechanizmus, az ún. szennyezéses vezetés, megjelenését eredményezi. A szennyezéses vezetés egyik típusát az alaprács atomjainál nagyobb vegyértékű szennyező atomok (Si-ban pl. As) hozzák létre, amelyeknek "felesleges" elektronjai könnyen elválaszthatók az atomjaiktól, és a rácsban mozogni képesek. Az energiasáv-sémában ez úgy jelentkezik (3a. ábra), hogy ezek az elektronok a vezetési sáv alatt, annak közelében lévő energia-szinteken helyezkednek el, és a tilos sáv szélességénél jóval kisebb energiával (\setbox0\hbox{$E_d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a vezetési sávba juttathatók. A többletelektront adó szennyezőt donor szennyezőnek, a létrehozott új energiaszintet donor szintnek nevezik. A szennyezéses vezetés egy másik típusát az alaprács atomjainál kisebb vegyértékű (Si-ban pl. In) szennyező atomok okozzák. Ezeknek az atomoknak elektron-hiánya van, ezért hajlamosak elektront megkötni. A vegyérték-sávból viszonylag kis energia hatására elektronok juthatnak át ezekbe az atomokba, miáltal a vegyértéksávban lyukak jönnek létre. Az energiasáv-sémában ez úgy értelmezhető, hogy ezek az atomok a vegyértéksáv felett, ahhoz közel üres energiaszinteket hoznak létre, amelyekre a vegyértéksávból kis energiával (\setbox0\hbox{$E_a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) elektronok juttathatók fel (3b. ábra). Az ilyen elektronmegkötő szennyező neve akceptor szennyező, a létrehozott energiaszintek az akceptorszintek.

Mivel \setbox0\hbox{$E_d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$E_a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% általában sokkal kisebb, mint \setbox0\hbox{$E_g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a szennyezéses vezetés alacsony hőmérsékleten játszik jelentős szerepet, ahol a sajátvezetést okozó elektron-lyuk párok gerjesztéséhez a termikus energia már nem elegendő. Ilyenkor a donor szennyezőt tartalmazó anyagban gyakorlatilag elektronvezetés, az akceptor szennyezést tartalmazó anyagban pedig lyukvezetés van. Az első esetben, amikor a többségi töltéshordozók elektronok, a félvezetőt gyakran n-típusú félvezetőnek, a másodikban pedig, amikor a többségi töltéshordozók lyukak, p-típusú félvezetőnek nevezik. Szennyezett félvezetőben egyidejűleg többféle töltéshordozó van jelen: a sajátvezetési mechanizmus útján keletkezett, azonos koncentrációjú vezetési elektron és lyuk, valamint a szennyezések által létrehozott töltéshordozók (elektronok vagy lyukak). Kimutatható, hogy az elektron-lyuk párok \setbox0\hbox{$n_s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koncentrációja

 
\[ n_{s} = A_{s} e^{\frac{-E_g }{2kT} } \]
(6)

ahol \setbox0\hbox{$A_s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az anyagi minőségtől és a hőmérséklettől (az exponenciálisnál gyengébben) függő faktor. Hasonló kifejezés érvényes a szennyezés által okozott töltéshordozók koncentrációjára alacsony hőmérsékleten (\setbox0\hbox{$kT<<E_{sz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%):

 
\[ n_{sz} = A_{sz} e^{\frac{-E_sz }{kT} } \]
(7)

ahol az \setbox0\hbox{$sz$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% index \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t vagy \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t jelent, attól függően, hogy donor- vagy akceptor szennyezőről van szó, \setbox0\hbox{$A_{sz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig az anyagi minőségtől, a töltéshordozó típusától és a hőmérséklettől (az exponenciálisnál gyengébben) függő faktor. Magas hőmérsékleten (\setbox0\hbox{$kT>>E_{sz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) \setbox0\hbox{$n_{sz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a hőmérséklettől gyakorlatilag független, és közelítőleg egyenlő a szennyező atomok koncentrációjával. Többféle (de azonos töltésű) töltéshordozót tartalmazó anyag vezetőképessége (\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a töltéshordozó töltésével (\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), a töltéshordozó-koncentrációkkal (\setbox0\hbox{$n_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) és a töltéshordozók mozgékonyságaival (\setbox0\hbox{$\mu_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) az alábbi módon fejezhető ki:

 
\[ \sigma = q \sum_{i} n_i \mu_i\]
(8)

Abban a hőmérséklet tartományban, ahol a sajátvezetés dominál, vagyis \setbox0\hbox{$ n_s >> n_{sz,max}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (ha a szennyezés vegyértéke eggyel tér el az alaprácsétól, akkor a szennyezés által keltett töltéshordozók koncentrációja maximum a szennyezés-koncentrációval lehet egyenlő) a vezetőképesség

 
\[ \sigma_s = q n_s \left( \mu_{el}+\mu_{lyuk}\right)\]
(9)

ami (6) felhasználásával és a \setbox0\hbox{$\sigma_{s0}{{=}}q \left( \mu_{el}+\mu_{lyuk} \right) A_s $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jelölés bevezetésével az alábbi alakba írható

 
\[ \sigma_{s} = \sigma_{s0} e^{\frac{-E_g}{2kT} } \]
(10)

Itt \setbox0\hbox{$\sigma_{s0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérséklet-független állandó (a mozgékonyság és az \setbox0\hbox{$A_s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% faktor hőmérsékletfüggése éppen kiejti egymást).

A vezetőképesség nem csak a hőmérséklettől függ, hanem minden olyan hatás befolyásolja, amely a töltéshordozók koncentrációját vagy azok mozgékonyságát módosítja. Előbbire példa a fotovezetés, ahol a töltéshordozó-koncentráció fotonok hatására módosul, utóbbira példa a mágneses ellenállás, amelyet a mérés során is megvizsgálunk. A mágneses ellenállás jellemzésére a relatív ellenállás-változást, vagyis az

 
\[\frac{R(B)-R(0)}{R(0)}\]
(11)

hányadost használják, ahol \setbox0\hbox{$R(B)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a mágneses térben, \setbox0\hbox{$R(0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a tér nélkül mért ellenállás.


A Hall-effektus

4. ábra

Ha egy derékszögű hasáb alakú félvezető lapka (4.ábra) egyik hosszú élével párhuzamosan áram (\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) folyik, és a lapkára merőleges irányban mágneses teret (\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) hozunk létre, akkor a mágneses térre és az áramra merőleges irányban a mintán elektromos feszültség (\setbox0\hbox{$U_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) jön létre. A jelenséget Hall-effektusnak, a létrejött \setbox0\hbox{$U_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültséget Hall-feszültségnek nevezik. A jelenséget a mágneses térben mozgó töltéshordozókra ható Lorentz-erő okozza, amely a \setbox0\hbox{$\mathbf{v}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel mozgó töltéshordozók eltérítésével

 
\[ \mathbf{E_H} = -\mathbf{v} \times \mathbf{B} \]
(12)

elektromos teret hoz létre (vö. mozgási indukció). A 4.ábra elrendezése esetén a térerősség nagysága tehát

 
\[E_H = v B\]
(13)

Feltételezve, hogy a vezetést egyfajta, \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koncentrációban jelenlévő töltéshordozó hozza létre (félvezetőben ez a szennyezéses vezetés tartományában áll fenn), a (3) és (13) egyenletekből a Hall-térerősségre az alábbi kifejezést kapjuk:

 
\[ E_H = \frac{jB}{qn}= R_H j B\]
(14)

Itt bevezettük az

 
\[ R_H = \frac{1}{q n}\]
(15)

ún. Hall-állandót (\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a töltéshordozó-koncentráció). Az áramsűrűséget kifejezve a mintán átfolyó \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% árammal, a \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% él mentén fellépő Hall-térerősséget pedig homogénnek feltételezve, a Hall-feszültségre azt kapjuk, hogy

 
\[ U_H = R_H \frac{I B}{d}\]
(16)

A Hall-feszültség tehát mind a mintán átfolyó árammal, mind pedig a mágneses indukcióval arányos. Emiatt, ha például adott \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékek mellett mérjük, és grafikonon ábrázoljuk a Hall-feszültségnek a mágneses indukciótól való függését, akkor a mérési pontokhoz illesztett egyenes \setbox0\hbox{$M_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% meredekségéből (16) alapján meghatározhatjuk a Hall-effektust jellemző Hall-állandót

 
\[ R_H = \frac{M_H d}{I}\]
(17)

ennek ismeretében pedig a töltéshordozó-koncentrációt:

 
\[ n = \frac{1}{q R_H}\]
(18)

A Hall feszültség előjelét meghatározva, a mintán folyó áram és a mágneses tér irányának ismeretében meghatározható a töltéshordozó töltésének előjele is, vagyis eldönthető, hogy a mintában a többségi töltéshordozók elektronok vagy lyukak. Egyetlen fajta töltéshordozó esetén a töltéshordozó mozgékonysága is meghatározható, hiszen az (5) és (15) egyenletek felhasználásával azt kapjuk, hogy

 
\[ \mu_H = \sigma R_H \]
(19)

Itt \setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az anyag mágneses tér nélkül mért vezetőképessége, \setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a már ismertnek feltételezett Hall-állandó.

Az ellenállásmérés módszerei

Kettő- és négypont ellenállásmérés

A digitális multiméterek az ellenállást konstans átfolyó áram mellett mért feszültségesésből számolják (5.ábra). Láthatjuk azonban, hogy így a mintához csatlakozó vezetékek ellenállását is beleszámoljuk a kapott értékbe, ezzel adott esetben jelentős hibát okozva. Erre a problémára megoldás a négypont ellenállásmérés (6.ábra), amelynek során külön vezetékeken mérjük a mintán eső feszültséget, ezáltal a fenti hibát elimináljuk. További problémát okozhat, hogy a mérőkörben a különböző fémes anyagok közötti csatlakozások miatt véges termofeszültség léphet fel, ezzel négypont üzemmódban is meghamisítva a mérést. A megoldást az jelenti, hogy míg a mintán eső Ohmikus feszültség arányos az árammal, a termofeszültség a mintán átfolyó áram függvényében állandó. Így váltakozó áramirányok mellett mérve a feszültségesést, a termofeszültség járuléka kiejthető.

5.ábra: A kétpont ellenállásmérés sémája.
6.ábra: A négypont ellenállásmérés sémája.

A van der Pauw módszer

Tetszőleges alakú, homogén vastagságú minták fajlagos ellenállásának meghatározására széles körben elterjedten használt módszer az L. J. van der Pauw által 1958-ban javasolt, négypont ellenállásméréseken alapuló eljárás, amelyet itt egy sarkaiban pontszerűen kontaktált, négyzet alakú mintára (7.ábra) ismertetünk. Ugyanakkor megjegyezzük, hogy a módszer alkalmazhatóságának általános feltétele mindössze annyi, hogy a négy elektomos kontaktus mindegyikének a minta szélein kell elhelyezkednie.

Legyen a minta négy kontaktusa segítségével, négypont ellenállásméréssel meghatározott, pozitív előjelű, ellenállás dimenziójú mennyiség

 
\[ R_{ij,kl} = \frac{U_{kl} }{I_{ij} } \]
(20)

ahol az \setbox0\hbox{$U_{kl}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültségesést a k és l kontaktusok között mérjük, miközben \setbox0\hbox{$I_{ij}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramot folyatunk az i és j kontaktusok között. Ekkor belátható, hogy

 
\[ R_{A} = \frac{\pi }{\ln 2 }\cdot\left(\frac{R_{12,34}+R_{23,14} }{2 }\right)\cdot f\left(\frac{R_{12,34} }{R_{23,14} }\right) \]
(21)
 
\[ R_{B} = \frac{\pi }{\ln 2 }\cdot\left(\frac{R_{34,12}+R_{14,23} }{2 }\right)\cdot f\left(\frac{R_{34,12} }{R_{14,23} }\right) \]
(22)

ahol az \setbox0\hbox{$f(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt definiáló, numerikusan megoldható egyenlet:

 
\[ \frac{x-1 }{x+1 } = \frac{f(x) }{\ln 2 } acosh\left[\frac{1 }{2 }\exp\left(\frac{\ln 2 }{f(x) }\right)\right] \]
(23)

Az \setbox0\hbox{$f(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény menetét és numerikus értékeit a 8.ábra szemlélteti. Amennyiben \setbox0\hbox{$R_{A}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$R_{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékei nem mutatnak egymástól 10 százalékosnál nagyobb eltérést, a minta homogénnek tekinthető és az ellenállás, illetve a \setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajlagos ellenállás ezek átlaga és a minta d vastagsága alapján számítható:

 
\[ \rho = d\cdot R = d\cdot\left(\frac{R_{A}+R_{B} }{2 }\right) \]
(24)

Hasonlóképpen kapjuk a geometriai effektusokkal korrigált Hall-feszültséget az egyes átlók mentén folyó áramok mellett mért keresztirányú feszültségekből:

 
\[ \frac{U_{H} }{I } = \frac{1 }{2 }\left[R_{13,24}(B)-R_{13,24}(0)+R_{24,13}(B)-R_{24,13}(0)\right] \]
(25)

A (21) és (22) egyenletekben a mért feszültségek és áramok aránya előtt megjelenő geometriai faktorok jelentését a 9.ábra szemlélteti. Az ábrán mutatott példában az áramot a 1 és 4 kontaktusok között folyatva mérünk feszültséget a 2 és 3 kontaktusok között. A sematikus görbék a töltéshordozók elektromos tér irányát követő pályáit mutatják a homogén mintában. Mivel a mintában felépülő elektrosztatikus tér konzervatív, azt bármelyik pálya teljes hosszára felintegrálva azonos feszültség érték adódik. Azonban az ábrán az is látható, hogy a 2 és 3 feszültség kontaktusok csak a közelükben elhaladó töltéshordozókkal kerülhetnek közvetlen kapcsolatba, ezáltal csak a pirossal jelölt pályaszakaszon fellépő potenciál esést mérik, amely az 1 és 4 terminálok közötti feszültségnek csak egy töredéke. A szemközti oldalak mentén mért feszültség- és áramértékek arányában emiatt fellépő hibát korrigálja a (21) és (22) egyenletekben szereplő, 4.5 nagyságrendű numerikus faktor.

7.ábra: Sarkain kontaktált, homogén, négyzet alakú minta van der Pauw ellenállás mérésekhez.
8.ábra: A van der Pauw módszer során felhasznált f(x) függvény.
9.ábra: A van der Pauw módszer geometriai faktorainak szemléltetése.


A mérőberendezés használata

A méréshez használt szilícium lapka az 10. és 11.ábrákon látható panelen van ragasztással rögzítve. A hozzávezetések egy banánhüvelyes csatlakozó dobozban végződnek. A fém vékonyréteg mintát tartalmazó panelt a 12.ábra szemlélteti. A 13. és 14.ábrák a teljes kísérleti összeállítást mutatják.

10.ábra: Mérőpanel a Hall-effektus méréséhez használt, négy sarkán kontaktált dópolt szilícium lapkával nyitott állapotban.
11.ábra: Mérőpanel a Hall-effektus méréséhez használt, négy sarkán kontaktált dópolt szilícium lapkával zárt állapotban.
12.ábra: Mérőpanel a Hall-effektus méréséhez fém vékonyrétegben.
13.ábra: Mérési elrendezés a mérőpanellel, gerjesztő tekercsekkel, mágnespofákkal.
14.ábra: Mérési összeállítás félvezető méréséhez mérőműszerekkel, tápegységekkel.

A mérés során a hordozó panelt egy tartó nyél segítségével úgy helyezzük az elektromágnes légrésébe, hogy a szilícium lapka a mágnespofák közepénél legyen. A mintára egyenfeszültséget kapcsolunk vagy egyenáramot folyatunk át, amit egy HAMEG tápegység biztosít. Az adott feladatban az átfolyó áramot külön multiméterrel mérjük és szükség szerint utána állítjuk, ha a külső paraméterek változása miatt az megváltozik. A longitudinális és Hall-feszültségek mérésére szintén egy HAMEG multiméter szolgál. A mágneses indukciót a tápegység (15.ábra) egyenáramú részével táplált tekercsek hozzák létre. A mérés során a feszültségkapcsolót célszerű a legnagyobb értékre (15 \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) állítani és a mágneses indukciót (a mágnesező áramot) az áramszabályzó gombbal szabályozni (ekkor ugyanis a tápegység áramgenerátorként működik, így a tekercs esetleges ellenállás-változása a mágnesező áramot nem befolyásolja). A mágneses indukció iránya az összekötő kábelek felcserélésvel fordítható meg. Ezt azonban kizárólag teljesen nullára állított meghajtó áram mellett szabad megtenni! A mágneses indukció meghajtó áram függvényében mért értékeit a mérőhelyen táblázatos formában közöljük.

15.ábra


Mérési feladatok

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

  • A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
  • Általános megjegyzések:
    • A mintákat tartó lapokat igen óvatosan kezeljük, nehogy valamelyik minta megsérüljön. Különösen ügyeljünk arra, hogy a lapokat soha ne hajlítsuk meg!
    • A különböző kapcsolásokat igénylő mérési feladatok elvégzése között az összekötő kábelek banán csatlakozóit mindig a műszerek előlapjain cseréljük meg!


1. Feszültség-generátoros meghajtás mellett, multiméter segítségével vegye fel a félvezető minta áram-feszültség (I-V) karakterisztikáját a \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%20 V tartományban, a meghajtó feszültséget 1 V lépésekben változtatva, nulla mágneses indukció mellett! A mérést a négyzet alakú mintaegyik átlója mentén, az átellenes kontaktusok között végezze el! A görbe induló meredeksége alapján határozza meg a minta Ohmos ellenállást!

  • Az I-V görbe közelítőleges meredeksége alapján adjon egy első becslést a minta Ohmos ellenállására!

2. Nulla mágneses indukció mellett, az Ohmos vezetés tartományában mérje meg a félvezető minta négypont ellenállását! A homogén, négyzet alakú mintára alkalmazott van der Pauw összefüggések segítségével határozza meg a minta fajlagos ellenállását!

  • Az Ohmos vezetés tartományát az előző feladatban felvett I-V görbe origó körüli lineáris szakasza határozza meg.
  • A négypont mérés során a feszültség-generátort a minta egyik éle mentén található kontaktusok közé kapcsolja és multiméterrel mérje a körben folyó áramot! A mintán eső feszültséget a szemközti oldal sarkai között mérje egy másik multiméterrel! A mérést azonos áramú meghajtás mellett ismételje meg a minta mind a négy oldala mentén!

3. Feszültség-generátor és multiméter segítségével, 10 mA nagyságú áram mellett mérje meg a félvezető minta kétpont ellenállását a minta egyik átlója mentén a mágneses indukció függvényében! A mágneses indukciót \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%300 mT között változtassa, 50 mT lépésekben! Ábrázolja az \setbox0\hbox{$[R(B)-R(0)]/R(0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relatív ellenállás-változást a mágneses indukció függvényében!

  • A mágneses indukciót létrehozó tekercsek sorba kötésekor alaposan gondolja végig az egyes tekercsekben folyó áramok, valamint az azok által létrehozott mágneses indukció irányát! Az összeállításról készítsen vázlatos ábrát a mérési naplóban!
  • A tekercsek meghajtó áramának függvényében mérhető mágneses indukciót a mágnes tápegységen feltüntetett táblázat tartalmazza. A tekercsek áramát a körbe kötött multiméterrel mérje!
  • Adjon egy első becslést arra, hogy a vizsgált tartományban mennyiben befolyásolja a mágneses indukció a minta ellenállását!

4. Feszültség-generátor és multiméter segítségével mérje a félvezető minta Hall-feszültségét a minta egyik átlója mentén. A mágneses indukciót \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%300 mT között 50 mT lépésekben változtassa, a mintán folyó áram értékei 10 mA illetve 15 mA legyenek!

  • A felvett \setbox0\hbox{$U_{H}(B)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% görbék közelítőleges meredekségei alapján adjon egy első becslést a minta előjeles(!) töltéshordozó koncentrációjára!

5. Értékelje ki a félvezető minta töltéshordozó koncentrációját és mozgékonyságát! Állapítsa meg, hogy a minta p vagy n típusú félvezető-e! A kiértékelés során a mért \setbox0\hbox{$U_{H}(B)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% görbéket szükség szerint korrigálja a longitudinális ellenállás ismert térfüggése alapján!

  • A négyzet alakú minta geometriai adatai a következők. Élek hossza: 10 mm, vastagság: 0.3 mm.
  • Vegye figyelembe, hogy a Hall-feszültség a mágneses indukció páratlan, míg a longitudinális ellenállásból származó feszültségesés a mágneses indukció páros függvénye, azaz \setbox0\hbox{$U_{H}(B)=-U_{H}(-B)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, illetve \setbox0\hbox{$U_{xx}(B)=U_{xx}(-B)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%! Ez alapján a Hall-feszültség és a - mérés során az egymással az áramirányhoz képest nem tökéletesen szemben elhelyezkedő feszültség kontaktusok között megjelenő - longitudinális feszültségesés a kiértékelés során egyértelműen szétválaszthatóak.

6. Nulla mágneses indukció és 10 A meghajtó áram mellett állítsa be a fém vékonyréteg minta melletti potmétert úgy, hogy a keresztirányú kontaktusok között nulla feszültséget mérjen! 10 A meghajtó áram mellett változtassa a mágneses teret \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%500 mT között 50 mT lépésekben és mérje a Hall-feszültséget! Ábrázolja az \setbox0\hbox{$U_{H}(B)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt, és határozza meg a töltéshordozó koncentrációt (vastagságok Zn: 0.025 mm, Cu: 0.018 mm)!

  • A 10 AMPERES TARTOMÁNYBAN DOLGOZVA FORDÍTSON KIEMELT FIGYELMET AZ ÉRINTÉSVÉDELEMRE!
  • A minta meghajtásához használja az erős áramú tápegységet és a vastag (kék) banán kábeleket! Az áramot GwInstek GOM-8245 típusú multiméterrel, a mintán eső feszültséget Keithley 2000 típusú multiméterrel mérje!
  • A felvett \setbox0\hbox{$U_{H}(B)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% görbe közelítőleges meredeksége alapján adjon egy első becslést a minta előjeles(!) töltéshordozó koncentrációjára!