Integrálás - Forgástest

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Integrálás
Feladatok listája:
  1. Alapvető integrálok
  2. Területszámítás
  3. Parciális integrálás
  4. Vegyes integrálok
  5. Tömegközéppont számítás
  6. Időfüggvények
  7. Forgástest
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy parabola-antenna a nagy viharban leesett a háztetőről, és úgy ért a földre, hogy szimmetriatengelye éppen függőleges. A nagy esőben a tányér megtelt vízzel. Tudjuk, hogy a tányér mélysége középen \setbox0\hbox{$h = 0.1 \, m \, ,$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a tányér sugara pedig \setbox0\hbox{$R = 0.5 \, m \, .$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%
    a) Határozzuk meg, hogy mekkora térfogatú víz gyűlt össze a tányérban?
    b) Mekkora a tányér (belső) felülete?

Megoldás

  1. a) A parabola-tányér egy forgástest. Legyen a szimmetriatengely az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely, a tányért úgy nyerjük, ha az \setbox0\hbox{$y = a \sqrt{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt megforgatjuk az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely körül. Az \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paramétert még meg kell határoznunk. Tudjuk, hogy az \setbox0\hbox{$x = h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% magasságnál a tányér sugara \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz
    \[a \sqrt{h} = R \quad \Rightarrow \quad a = \frac{R}{\sqrt{h}} \, .\]
    Tehát az \setbox0\hbox{$y(x) = \frac{R}{\sqrt{h}} \sqrt{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt kell megforgatnunk. A tányér térfogata:
    \[ V = \int_{0}^{h} y(x)^2 \pi \,dx = \frac{R^2 \pi}{h} \int_0^h x \, dx = \frac{R^2 \pi}{h} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^h = \frac{R^2 h \pi}{2} = 0.0393 m^3\]
    b) A tányér felszínét az alábbi integrállal tudjuk meghatározni:
    \[ S = \int_0^h 2 \pi y(x) \sqrt{1 + y'(x)^2} \, dx = \frac{2 \pi R}{\sqrt{h}} \int_0^h \sqrt{x + \frac{R^2}{4 h}} \, dx = \]
    \[ = \frac{2 \pi R}{\sqrt{h}} \left[ \frac{2}{3} \left( x + \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} \right]_0^h = \frac{4 \pi R}{3 \sqrt{h}} \left[ \left( h + \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} - \left( \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} \right] = 0.816 m^2 \]