Kinematika - 1.3.8

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Mozgástan
Feladatok listája:
  1. Kinematika - 1.1.7
  2. Kinematika - 1.2.6
  3. Kinematika - 1.2.8
  4. Kinematika - 1.3.1
  5. Kinematika - Változó mozgás
  6. Kinematika - 1.3.8
  7. Kinematika - 1.4.6
  8. Kinematika - 1.4.7
  9. Kinematika - 1.4.10
  10. Kinematika - 1.4.17
  11. Kinematika - 1.4.18
  12. Kinematika - 1.4.20
  13. Kinematika - 1.4.23
  14. Kinematika - Ferde hajítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*1.3.8.) Egy részecske a pozitív \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely irányába mozog, úgy, hogy sebessége az alábbi törvény szerint változik: \setbox0\hbox{$v=D\sqrt{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol d pozitív állandó. Tételezzük fel, hogy a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban a részecske az origóban volt. Határozzuk meg
    a) a részecske sebességének és gyorsulásának függését az időtől!
    b) a részecske átlagsebességét, míg az \setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontból az \setbox0\hbox{$x=b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontba jut!

Megoldás

  1. a) A \setbox0\hbox{$v(t)=dx/dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés alapján az \setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényre vonatkozó differenciál egyenlet
    \[\frac{dx}{dt}=D\sqrt{x(t)}\]
    alakban írható. A kezdeti feltétel \setbox0\hbox{$x(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    \[\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dx}{dt}=D\]
    \[\frac{d}{dt}\left(2\sqrt{x}\right)=D\]
    \[2\sqrt{x}=Dt+C\,,\]
    ahol \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egy tetszőleges konstans melynek pontos értékét a kezdeti feltétellel illesztjük.
    \[x(t)=\frac{(Dt+c)^{2}}{4}\]
    A kezdeti feltétel miatt \setbox0\hbox{$c=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, vagyis
    \[x(t)=\frac{D^{2}t^{2}}{4}.\]
    Ez alapján
    \[v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.\]
    b) Jelöljük \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel azt a pillanatot, amikor a részecske az \setbox0\hbox{$x=b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontban van.
    \[x(T)=b\qquad\Rightarrow\qquad T=\frac{2\sqrt{b}}{D}\]
    Így az átlag sebesség
    \[v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.\]