Kinematika - 1.4.20

Feladat

1. (*1.4.20) Egy ember a tó partján sétálva a tóban egy fuldoklót vesz észre. A fuldokló a parttól $\setbox0\hbox{$h_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az ember $\setbox0\hbox{$h_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban van. A fuldokló és a mentésére siető távolsága $\setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Milyen úton haladjon a mentésre siető ember, hogy a fuldoklót leghamarabb elérje, ha a parton futva $\setbox0\hbox{$v_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a vízben úszva $\setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel tud haladni?

Megoldás

1. A távolságok rögzítettek, ezért az ábrán szereplő $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság is rögzített. A mentésre indulónak azt kell eldöntenie, hogy milyen $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt kell a part felé indulnia, és milyen $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányba ússzon.

   

   A mentés összes ideje az ábrán jelzett $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság függvényében

   $\[T(x)=\frac{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}{v_{2}}+\frac{\sqrt{h_{1}^{2}+(L-x)^{2}}}{v_{1}}\]$

   szerint írható. Az idő minimális, ha

   $\[\frac{dT}{dx}=0\]$

   $\[\frac{1}{v_{2}}\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}-\frac{1}{v_{1}}\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=0\,,\]$

   ahol egy kettes szorzóval már egyszerűsítettünk. Az ábra alapján észrevehetjük, hogy

   $\[\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}=\sin\alpha\qquad\mbox{és}\qquad\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=\sin\beta\,,\]$

   így a minimális időt az alábbi feltétel határozza meg.

   $\[\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{v_{2}}{v_{1}}\]$

   Az eredményben felismerhetjük a Snellius-Descartes törvényt. Az optikában a fény terjedésének leírásához általában is használható az úgynevezett Fermat-elv, amely variációs elvnek a mechanikai analógiája ez a feladat.