Magnetosztatika példák - Körmozgást végző töltött test mágneses tere

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
Feladatok listája:
  1. Egyenes vezető mágneses tere
  2. Egyenes vezető mágneses tere 2
  3. Áram által átjárt vezető elrendezés mágneses tere
  4. Áram által átjárt hengeres vezetékben a mágneses tér
  5. Áram által átjárt üreges hengerben a mágneses tér
  6. Párhuzamos, végtelen vezetők mágneses tere
  7. Gyűrű alakú vezető mágneses tere
  8. Négyzet alakú fémkeret mágneses tere
  9. Koaxiális vezető mágneses tere
  10. Körív alakú vezető mágneses tere
  11. Körmozgást végző töltött test mágneses tere
  12. Forgó korong mágneses tere
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú szigetelőpálca végére elhelyezett kisméretű testet \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltéssel látunk el. A szigetelő nyél másik végét tengelyhez rögzítve \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögsebességgel megforgatjuk.
    a) Milyen hatással lesz a körmozgást végző töltött test a környezetére?
    b) Mekkora és milyen irányú lesz a mágneses indukció a kör középpontján átmenő, pálya síkjára merőleges tengely mentén?

Megoldás


a.) A körmozgást végző \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés jó közelítéssel köráramnak tekinthető. Az áram erőssége:

\[I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}\]

Ahol \setbox0\hbox{$\Delta Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a körpálya adott pontján \setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% idő alatt áthaladt töltések mennyisége. Tekintve, hogy a ponttöltés \setbox0\hbox{$N=\omega/(2\pi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fordulatszámmal kering:

\[I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\dfrac{QN \Delta t}{\Delta t}=\dfrac{Q\omega}{2\pi}\]

b.) Feladatunk tehát egy fent meghatározott \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramerősségű, \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú körvetető terének meghatározása a tengely mentén, a köráram síkjától \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban. A Biot-Savart törvényt fogjuk alkalmazni:

\[\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{\vec{dl}\times \vec{r}}{|r|^3}\]

A vizsgált tengelypontból a körvezető adott infinitezimális \setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szakaszából húzott \setbox0\hbox{$\vec{r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarak egy \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% magasságú kúpot határoznak meg az ábra szerint.

KFGY2-6-11uj.png

Mivel a kúp \setbox0\hbox{$\vec{r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alkotói mindig merőlegesek a körvezető \setbox0\hbox{$\vec{dl}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% érintőire, a Biot-Savart törvény alapján egy elemi \setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú vezetékdarab által vizsgált pontban keltett \setbox0\hbox{$dB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% indukció komponens nagysága a következőképp alakul:

\[dB=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \dfrac{dl}{r^2}\]

A \setbox0\hbox{$dB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elemi indukció vektor merőleges az őt keltő \setbox0\hbox{$\vec{dl}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vezető darabra, és a hozzá vezető \setbox0\hbox{$\vec{r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alkotóra. A rendszer hengerszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a \setbox0\hbox{$\vec{dB}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vektorok alaplappal párhuzamos komponensei kioltják egymást, a tengely irányú komponensek viszont konstruktívan összegződnek. A merőleges szárú szögek tétele alapján beláthatjuk, hogy \setbox0\hbox{$\vec{dB}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vektor az alaplappal \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szöget zár be, ahol \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a kúp alkotója és forgástengelye által bezárt szög. Geometriai megfontolások alapján:

\[\sin(\beta)=\dfrac{R}{r}\]

Tehát a \setbox0\hbox{$\vec{dB}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függőleges komponense:

\[dB_z=dB\sin(\beta)=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \dfrac{dl}{r^2}\dfrac{R}{r}=\dfrac{\mu_0 I R}{4 \pi r^3} dl\]

Ahol a vezető \setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elemi szakaszdarabja parametrizálható a az infinitezimális ívelem \setbox0\hbox{$d\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% középponti szögével:

\[dl=Rd\varphi\]
\[dB_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{4 \pi r^3} d\varphi\]

Az teljes gyűrű által keltett mágneses indukciót meghatározhatjuk, ha a \setbox0\hbox{$dB_z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% járulékokat felösszegezzük a gyűrű teljes körére:

\[B_z=\int dB_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{4 \pi r^3} \int_0^{2\pi} d\varphi=\dfrac{\mu_0 I R^2}{4 \pi r^3}2\pi=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 r^3}\]

Kihasználva, hogy:

\[r^2=R^2+z^2\]

Az indukció nagysága a \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében:

\[B_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}}\]