Magnetosztatika példák - Koaxiális kábel öninduktivitása

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
Feladatok listája:
  1. B és H fluxusa mágneses anyag jelenlétében
  2. Változó relatív permeabilitású lemez körül a mágneses fluxus
  3. Toroid mágneses tere
  4. Vasmagos szolenoid mágneses tere
  5. Vasmagos szolenoid mágneses tere 2
  6. Szolenoid tekercs öninduktivitása
  7. Koaxiális kábel öninduktivitása
  8. Tömör hengeres vezető öninduktivitása
  9. Négyzet keresztmetszetű toroid tekercs öninduktivitása
  10. Párhuzamos henger alakú vezetőpár öninduktivitása
  11. Egyenes vezető és vezető keret közti kölcsönös induktivitás
  12. Négyzetes keresztmetszetű toroid forgástengelyében hosszú egyenes vezetővel
  13. Koncentrikus körvezetők öninduktivitása
  14. Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel
  15. Toroid tekercs légréses vasmaggal
  16. Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú koaxiális hengerpár belső, \setbox0\hbox{$r_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú hengerfelületen \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram folyik a tengely irányában, míg a külső, \setbox0\hbox{$r_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú felületen ugyanakkora, de ellentétes irányú áram folyik. Számítsuk ki a rendszer öninduktivitását!

Megoldás


Először határozzuk meg a lét vezető henger közötti mágneses teret! Vegyünk fel egy \setbox0\hbox{$r_b<r<r_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú kört a hengerekével egybeeső tengellyel. Írjuk fel erre a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt!

\[I=\oint{}Hdl=2r\pi H\]

Ebből a hengerszimmetrikus mágneses tér nagyságát meghatározhatjuk a tengelytől mért távolság függvényében:

\[H=\dfrac{I}{2\pi r}\]

Az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével könnyen belátható, hogy a két hengeren kívül (\setbox0\hbox{$r>r_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a mágneses tér zérus. Ebből következik, hogy mágneses indukció csak a két henger közötti térben van, melynek fluxusa a következőképp számítható, ha tudjuk, hogy \setbox0\hbox{$B=\mu_0 H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[\Phi=\int{}BdA=l\int_{r_b}^{r_k}B_{r}dr=\dfrac{\mu_0 l I}{2\pi}\int_{r_b}^{r_k}\dfrac{1}{r}dr=\dfrac{\mu_0 l I}{2\pi}ln\left( \dfrac{r_k}{r_b} \right)\]

A koaxiális kábel \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszú szakaszának önindukciós együtthatója:

\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{2\pi}ln\left( \dfrac{r_k}{r_b} \right)\]