Magnetosztatika példák - Koaxiális vezető mágneses tere

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
Feladatok listája:
  1. Egyenes vezető mágneses tere
  2. Egyenes vezető mágneses tere 2
  3. Áram által átjárt vezető elrendezés mágneses tere
  4. Áram által átjárt hengeres vezetékben a mágneses tér
  5. Áram által átjárt üreges hengerben a mágneses tér
  6. Párhuzamos, végtelen vezetők mágneses tere
  7. Gyűrű alakú vezető mágneses tere
  8. Négyzet alakú fémkeret mágneses tere
  9. Koaxiális vezető mágneses tere
  10. Körív alakú vezető mágneses tere
  11. Körmozgást végző töltött test mágneses tere
  12. Forgó korong mágneses tere
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Az ábrán látható koaxiális vezetőben \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram folyik. A belső éren (\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-n belül) befelé, a külső éren (\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% között) kifelé. Határozzuk meg a mágneses teret a tengelytől mért \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság függvényében.
    KFGY2-6-9.png

Megoldás


Mivel a rendszer teljesen hengerszimmetrikus, könnyen alkalmazhatjuk az Amper-féle gerjesztési törvényt.

\[I=\oint \vec{H}\vec{dl}\]

Vegyünk fel egy \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú gyűrűt, mint zárt görbét, melynek tengelye egybeesik a hengerek tengelyével. A rendszer hengerszimmetrikus, így joggal feltételezzük, hogy a \setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősség nagysága a gyűrű minden pontján azonos nagyságú, iránya pedig mindenütt érintő irányú. A vektorok skalárszorzatának integrálja így a következőképp egyszerűsíthető:

\[I_O=2r\pi H\]
\[H=\dfrac{I_O}{2\pi r}\]

Ahol \setbox0\hbox{$I_O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a gyűrű által határolt területen átfolyó áram erőssége. Ha \setbox0\hbox{$r<a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a gyűrűn átfolyó áram erőssége arányos az \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú hengerben folyó \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% árammal, az arányossági tényező pedig a gyűrű területének és a henger keresztmetszetének hányadosa:

\[I_O=I\dfrac{r^2}{a^2}\]

Tehát a belső hengerben a térerősség nagyságának helyfüggése:

\[H=\dfrac{I}{2\pi a^2} r\]

A két henger között (\setbox0\hbox{$a<r<b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) az Amper-féle gerjesztési törvény a fentiekhez hasonlóan alkalmazható, ám a zárt gyűrűn átfolyó összes áram megegyezik a belső hengerben folyó \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% árammal, tehát a mágneses tér helyfüggése:

\[H=\dfrac{I}{2\pi r}\]

Tovább növelve az Amper-törvény zárt görbéjének sugarát (\setbox0\hbox{$b<r<c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a zárt görbe által határolt területen átfolyó összes áram erőssége csökken, hiszen a külső hengerben folyó, belsővel ellentétes irányú áram egy részét is bezárja. A területek arányainak ismeretében meghatározható a zárt görbe által határolt áramok nagysága:

\[I_O=I-I\dfrac{r^2-b^2}{c^2-b^2}=I \left( \dfrac{c^2-r^2}{c^2-b^2} \right)\]

A térerősség a külső hengerben tehát:

\[H=\dfrac{I}{2\pi r}\dfrac{c^2-r^2}{c^2-b^2}\]

A két hengeren kívüli térben (\setbox0\hbox{$c<r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a térerősség zérus, hiszen az \setbox0\hbox{$r>c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú zárt görbe által határolt felületen egyaránt átfolyik a belső henger \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% árama, és a külső henger \setbox0\hbox{$-I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erősségű árama. Ezek összege pedig nulla: \setbox0\hbox{$I_O=I-I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%