Magnetosztatika példák - Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
Feladatok listája:
  1. B és H fluxusa mágneses anyag jelenlétében
  2. Változó relatív permeabilitású lemez körül a mágneses fluxus
  3. Toroid mágneses tere
  4. Vasmagos szolenoid mágneses tere
  5. Vasmagos szolenoid mágneses tere 2
  6. Szolenoid tekercs öninduktivitása
  7. Koaxiális kábel öninduktivitása
  8. Tömör hengeres vezető öninduktivitása
  9. Négyzet keresztmetszetű toroid tekercs öninduktivitása
  10. Párhuzamos henger alakú vezetőpár öninduktivitása
  11. Egyenes vezető és vezető keret közti kölcsönös induktivitás
  12. Négyzetes keresztmetszetű toroid forgástengelyében hosszú egyenes vezetővel
  13. Koncentrikus körvezetők öninduktivitása
  14. Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel
  15. Toroid tekercs légréses vasmaggal
  16. Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Mekkora az öninduktivitása az 1. ábrán vázolt \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű, \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, egymástól \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra levő szalagpárnak, ha a szalagok közötti tér egyik felét \setbox0\hbox{$\mu_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a másik felét \setbox0\hbox{$\mu_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki? Tételezzük fel, hogy \setbox0\hbox{$L\gg D\gg d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%
    KFGY2-8-16.png

Megoldás


Áramjárta vezető rendszer \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% öninduktivitása, és az áramok keltette mágneses tér \setbox0\hbox{$E_{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiája között az alábbi összefüggés írható fel.

\[E_{m}=\dfrac{1}{2}LI^2\]

Tehát, ha meghatározzuk a tér energiáját, kiszámíthatjuk az öninduktivitást. Ehhez azonban a tér minden pontjában ismernünk kell a mágneses teret. A \setbox0\hbox{$l\gg D\gg d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feltételnek köszönhetően az ellentétes irányokba folyó áramoktól átjárt szalagok igen közel vannak egymáshoz, tehát szalagokon kívüli térben indukált mágneses mező már nagyságrendileg \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban elhanyagolható értékű. Élhetünk tehát azzal a feltételezéssel, hogy mágneses indukció csak a két lemez közti térben található, valamint azzal, hogy a mágneses tér a két közegben homogén. Ezt kihasználva felvesszük a 2. ábra szerinti zárt görbét, és felírjuk rá az Amper-féle gerjesztési törvényt.

KFGY2-8-16B.png

2. ábra

\[ I= \oint \overline{H}d\overline{l}=H_{1}\dfrac{D}{2}+H_{2}\dfrac{D}{2}\]

Ahol \setbox0\hbox{$H_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$H_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a lemezek közti teret kitöltő, eltérő mágneses permeabilitású közegekben mérhető mágneses térerősség értékei. Tudjuk, hogy a közeghatáron az arra merőleges mágneses indukció folytonosan halad át, ezért a mágneses térerősség nagysága:

\[ H_{1}=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}\]
\[H_{2}=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}\]

Helyettesítsük be ezeket a gerjesztési törvénybe:

\[ I=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}\dfrac{D}{2}+\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}\dfrac{D}{2}\]

Ebből kifejezhetjük az ismeretlen mágneses indukciót:

\[ B=\dfrac{2\mu_0 I}{D}\dfrac{\mu_1 \mu_2}{\mu_1 +\mu_2}\]

Ezzel a mágneses térerősségek:

\[ H_1=\dfrac{2 I}{D}\dfrac{\mu_2}{\mu_1 +\mu_2}\]
\[ H_2=\dfrac{2 I}{D}\dfrac{\mu_1}{\mu_1 +\mu_2}\]

A lemezek közt található két közegben meghatározható a mágneses tér energiasűrűsége:

\[e_1=\dfrac{1}{2}BH_1=\dfrac{2\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2 ^2}{D^2 (\mu_1+\mu_2)^2} \]
\[e_2=\dfrac{1}{2}BH_2=\dfrac{2\mu_0 I^2 \mu_1^2 \mu_2 }{D^2 (\mu_1+\mu_2)^2} \]

A tér mágneses energiája így:

\[ E_m= \int \ edV=e_1 \dfrac{D}{2}ld+e_2 \dfrac{D}{2}ld\]

Behelyettesítve ebbe a fentebb meghatározott \setbox0\hbox{$e_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$e_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiasűrűség értékeket megkapjuk a mágneses térben tárolt energiát.

\[ E_m=\dfrac{I^2 ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}\]

A tér energiája, és a rendszer öninduktivitása közötti összefüggést felírva az alábbi egyenletet kapjuk:

\[ E_m=\dfrac{I^2 ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}=\dfrac{1}{2}LI^2\]

Mely alapján meghatározható az öninduktivitás:

\[ L=\dfrac{ 2ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}\]