Magnetosztatika példák - Lezárt sínen állandó erő erővel mozgatott vezető

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mozgási indukció
Feladatok listája:
  1. Forgó tekercsben indukált elektromotoros erő
  2. Parabola alakú vezetőben kialakult indukált feszültség
  3. Tekercsben indukált elektromotoros erő változó mágneses térben
  4. Vezető keret, mozgási indukicó
  5. Küllős fémtárcsában indukált elektromotoros erő
  6. V alakú sínen mozgó vezetőben indukált áram
  7. Lezárt sínen állandó erő erővel mozgatott vezető
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy vezeték súlódásmentesen csúszhat egy vízszinesen elhelyezkedő \setbox0\hbox{$\Pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakú vezetőhurkon. A vezető hossza \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, tömege \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ellenállása \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az egész rendszer homogén, függőlegesen felfelé irányuló \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mágneses indukciójú térben helyezkedik el. A \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pillanatban fellépő, vízszintes erő hatására a vezeték jobbra mozog. Hogyan változik a vezeték sebessége az idő függvényében. (Az áramhurok induktivitása, és a \setbox0\hbox{$\Pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakú vezető ellenállása elhanyagolható.

Megoldás


A vezető rúd mozgásegyenlete a következő:

\[m\ddot{x} = F_0+F_L\]

Ahol \setbox0\hbox{$F_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a vezetéket gyorsító konstans erő, \setbox0\hbox{$F_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a vezetőre ható Lorentz erő, ami a Lenz-törvény értelmében fékezi a rúd mozgását.

A vezető keretben indukált feszültség:

\[U -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -\frac{\partial B l x}{\partial t} = - B l \dot{x}\]

A vezetékben folyó áram:

\[I = \frac{U}{R} = \frac{- B l \dot{x}}{R}\]

Mivel a vezeték és a mágneses tér merőlegesek egymásra, ezért a vezetékre ható Lorentz erő nagysága:

\[F_{L} = BIl = -\frac{B^2l^2}{R}\dot{x}\]

Ezzel a rúd mozgásegyenlete:

\[m\ddot{x} = F_0-\frac{B^2l^2}{R}\dot{x}\]

Ez egy elsőrendű szétválasztható differenciál egyenlet:

\[\dot{v} = \frac{F_0}{m}-\frac{B^2l^2}{R m}v\]

Ez kiintegrálható a változók szétválasztásával:

\[\int_0^v \frac{dv}{\frac{F_0}{m}-\frac{B^2l^2}{Rm}v} = \int_0^t dt\]

Amiből a vezeték sebesség időfüggvénye:

\[v(t) = \frac{F_0 R}{B^2l^2}\left(1-e^{-\frac{B^2l^2}{Rm}t}\right)\]