Mechanika - Csillapodó rezgés periódusa

Feladat

1. (*6.32.) $\setbox0\hbox{$m=10\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű anyagi pont egy a centrumtól mért távolsággal arányos visszatérítő erő hatására egyenesvonalú lengéseket végez. A környező közeg ellenállása a pont sebességével arányos. Határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rezgésidőt, ha az amplitúdó három teljes lengés után tizedére csökken! (A rugóállandó: $\setbox0\hbox{$D=20\,\rm{\frac Nm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

Megoldás

Tekintsük a csillapított rezgés $\setbox0\hbox{$x(t)=A_0e^{-\beta t}\sin(\omega t+\phi_0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakját. Ha bevezetjük az $\setbox0\hbox{$A(t)=A_0e^{-\beta t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időfüggő amplitúdót, akkor $\setbox0\hbox{$A(t+3T)=\frac{A(t)}{10}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ebből

$\[e^{-3\beta T}=\frac1{10},\]$

amiből

$\[\beta T=\frac{\ln(10)}3=0,77\]$

A rugóállandó és a tömeg ismeretében az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csillapítatlan sajátfrekvenciát ismerjük, de sem a tényleges frekvenciát sem a csillapítási tényezőt nem, viszont a $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ periódusidőre

$\[\left(\frac{2\pi}T\right)^2=\omega^2=\omega_0^2-\beta^2=\frac Dm-\beta^2\]$

Ezt $\setbox0\hbox{$T^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tel beszorozva

$\[4\pi^2=\frac{DT^2}m-(\beta T)^2,\]$

amelyben már csak $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az ismeretlen. Rendezés után:

$\[T=\sqrt{\frac mD(4\pi^2+0,77^2)}=4,48\,\rm s\]$