Mechanika - Függvényalak átalakítása

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Rezgések I.
Feladatok listája:
  1. Rezgések pályaegyenlete
  2. Rugóra akasztott test
  3. Rezgés kezdeti feltételekkel
  4. Rezgés egyensúlyi helyzetből
  5. Rezgő testre rápottyanó
  6. Kosárba ejtett test
  7. Rugókra merőleges rezgés
  8. Inga kétféle rezgésideje
  9. Rezgés ferde rugóval
  10. Kiskocsik rugóval
  11. Függvényalak átalakítása
  12. Eredő rezgés adatai
  13. Adott eredő rezgés
  14. Azonos kitérés ideje
  15. Lebegés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*6.19.) Határozzuk meg az \setbox0\hbox{$x(t)=3\sin{2t}–\cos{2t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% törvény szerint harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont mozgásának amplitúdóját és periódusidejét!

Megoldás

SI egységekben gondolkodva leolvasható, hogy a körfrekvencia \setbox0\hbox{$\omega=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így a periódusidő \setbox0\hbox{$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az amplitúdót akkor kaphatjuk meg, ha összevetjük a megadott függvényalakot egy
\[x(t)=A\sin(2t+\phi)=A\sin(2t)cos{\phi}+A\cos(2t)sin{\phi}\]
alakkal. Ebből \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra és \setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re két egyenlet kapható:
\[A\cos{\phi}=3\]
\[A\sin{\phi}=-1\]
. Ezek négyzetét összegezve
\[A^2=9+1=10,\]
és a kezdőfázis is megkapható pl. a két egyenletet elosztva.

Érdemes megjegyezni, hogy a szinusz és koszinusz függvény két lineárisan független alapmegoldás, azaz bázist alkotnak a megoldások kétdimenziós lineáris terében. Bizonyos értelemben még ortogonálisak is, így a (3,-1) együtthatókat derékszögü koordináták vektoraként is értelmezhetjük, melynek hossznégyzete pitagoraszi öszzegzéssel kapható, ezt láttuk fentebb.