Mechanika - Felbillenés lejtőn

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Merev testek II.
Feladatok listája:
  1. Korongon mozgatott tömegpont
  2. Lelógatott korong
  3. Lelógatott korong tárcsával és tömeggel
  4. Lépcsős csiga
  5. Tömeg rugón súlyos csigával
  6. Korong vízszintes talajon húzva
  7. Henger lejtőn
  8. Három test lejtőn
  9. Forgó henger lejtőn húzva
  10. Hokikorong és rúd ütközése
  11. Hokikorong és rúd ütközése II
  12. Felbillenés lejtőn
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*3.3.29.) Egy \setbox0\hbox{$30^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hajlásszögű lejtőre \setbox0\hbox{$0,1\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% magasságú, \setbox0\hbox{$0,2\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszú és \setbox0\hbox{$0,2\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű testet helyezünk. A test tömege \setbox0\hbox{$1\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A test és a lejtő felülete között a súrlódási tényező \setbox0\hbox{$0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    a) Írja fel a test mozgásegyenletét!
    b) Hol van a test és a lejtő kölcsönhatását számbavevő erők támadáspontja?
    c) Létezhet-e akkora súrlódási tényező, hogy a test felbillenjen?

Megoldás

A mozgásegyenletek az ábra koordinátarendszerében:
\[m\ddot x=mg\sin{\alpha}-F_s\]
\[m\ddot y=F_{ny}-mg\cos{\alpha}\]
\[\theta\ddot\varphi=F_{ny}t-F_sb\]
Ha a test elindul és megcsúszik, akkor már biztosan nem billen fel, tehát \setbox0\hbox{$\ddot y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\ddot\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így \setbox0\hbox{$F_{ny}=mg\cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$F_s=\mu mg\cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így \setbox0\hbox{$t=\mu b=0,01\,m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Tovább növelve \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékét \setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% is növekszik, de \setbox0\hbox{$t>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nem lehetséges. Amíg \setbox0\hbox{$\mu\leq\frac ab=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, addig biztosan nem billen.

Ha \setbox0\hbox{$\mu>\frac ab=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, nem csúszik, hanem tapad, így \setbox0\hbox{$\ddot x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Tegyük fel, hogy továbbra sem billen, így a többi mozgásegyenletből \setbox0\hbox{$t=b\tan{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ami továbbra sem lehet nagyobb, mint \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, tehát \setbox0\hbox{$\tan{\alpha}<=\frac ab=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Jelen téglatest esetében a lejtő nem elég meredek a billenéshez még nagyon nagy súrlódási együttható mellett sem.

Érdemes kvalitatíve is megvizsgálni, hogy összességében mik a billenés feltételei. Egyrészt azt látjuk, hogy a lejtőnek elég meredeknek kell lennie, hogy a súlyerő hatásvonala a test alsó éléhez képest a lejtő alja felé legyen. Másrészt a test nem csúszhat meg a nem kellően meredek lejtőn. További esetek: ha a lejtő nem elég meredek, akkor a súrlódási tényezőtől függően csúszás vagy tapadás lesz. Ha a lejtő elég meredek, viszont a súrlódási együttható nem elég nagy, akkor csúszik a test.
Kfgy 3 3 29M.svg