Mechanika - Két transzverzális hullám

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Hullámok
Feladatok listája:
  1. Adatok hullámfüggvényből
  2. Hullámfüggvény 1.
  3. Hullámfüggvény 2.
  4. Longitudinális hullám
  5. Két transzverzális hullám
  6. Állóhullámok sípban
  7. Fejhullám
  8. Felharmonikusok Dopplere
  9. Mozgó hangvilla falnál
  10. Doppler ferde mozgásnál
  11. Kétmotoros repülő Dopplere
  12. Gömbhullám
  13. Húr és hangvilla
  14. Energia húrdarabban
  15. Csillapodó gömbhullám
  16. Relativisztikus Doppler mechanikai hullámra
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (7.9.) Egy húr hosszirányában két transzverzális hullám fut végig. Mindkettő azonos \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciával és \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% amlitúdóval a pozitív \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely irányában halad. Az első hullám hatására egy, az origóban levő részecske a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban éppen az egyensúlyi helyzeten halad át a pozitív \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely irányában. A második hullám egy negyed hullámhossz útkülönbséggel késik az elsőhöz képest. Adjuk meg a húr tetszés szerinti részecskéjének rezgési egyenletét! Mekkora a kitérés az \setbox0\hbox{$x=\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyen \setbox0\hbox{$t=T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban?

Megoldás

Mindkét rezgéshez rendelhető hullámfügvény, és keressük az eredő hullámüggvényt. Az azonos frekvenciák miatt a hullámhosszak is azonosak (mivel a terjedési sebesség is közös), így a kérdés lényegében az eredő amplitúdó és kezdőfázis. A megadott kezdeti és peremfeltételhez az \setbox0\hbox{$y=A\sin(\omega t-kx+\phi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% általános alak illeszkedik a legegyszerűbben. Az első hullám esetében így a keződfázis \setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a második esetében a negyedhullámú késés egy \setbox0\hbox{$-\frac{\pi}2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kezdőfázisnak felel meg mindenhol a hullám mentén, tehát az origóban is. Ebben a pontban tekintve két azonos frekvenciájú harmonikus rezgést kell összeadni, például forgóvektoros ábrázolást alkalmazva. Mivel az amplitúdók azonosak és a két vektor merőleges, a vektorháromszögünk derékszögű és egyenlő szárú, így az eredő kezdőfázis \setbox0\hbox{$-\frac{\pi}4$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, az eredő amplitúdó pedig \setbox0\hbox{$\sqrt2A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
\[y(\lambda,T)=y(0,0)=\sqrt2A\sin\left(-\frac{\pi}4\right)=-A\]