Mechanika - Tömeg rugón súlyos csigával

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Merev testek II.
Feladatok listája:
  1. Korongon mozgatott tömegpont
  2. Lelógatott korong
  3. Lelógatott korong tárcsával és tömeggel
  4. Lépcsős csiga
  5. Tömeg rugón súlyos csigával
  6. Korong vízszintes talajon húzva
  7. Henger lejtőn
  8. Három test lejtőn
  9. Forgó henger lejtőn húzva
  10. Hokikorong és rúd ütközése
  11. Hokikorong és rúd ütközése II
  12. Felbillenés lejtőn
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*3.3.9.) Vízszintes tengely körül forgó csigán átvetett fonál egyik végén \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű teher függ. A fonál másik vége rugóhoz csatlakozik, amelynek rugóállandója \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A csiga sugara \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, tehetetlenségi nyomatéka \setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Mutassuk ki, hogy a teher rezgőmozgást végez! Mekkora a rezgésidő?
    Kfgy1 09 3 3 9.svg

Megoldás

Vegyük észre, hogy súlyos csigáról lévén szó a két oldalán a kötélerők nem feltétlenül egyformák, ezért lehet nullától különböző eredő forgatónyomatékuk, ami a csigát gyorsítja! A mozgásegyenletek:
\[ma=mg-K_1\]
\[\theta\beta=K_1R-K_2R\]
a további egyenletek
\[a=\beta R=\ddot x\]
és
\[K_2=Dx\]
. A nyomatéki egyenletben látható, hogy nulla tehetetlenségi nyomaték esetén a két kötélerő szükségképpen azonos, máskülönben nem. Ebbe az egyenletbe a többit helyettesítve
\[\left(\frac{\theta}R+mR\right)\ddot x=mgR-DxR\]
Ebben a jobb oldal első tagja állandó, és az egyensúlyi helyzet eltolását eredményezi, a második tag pedig lineáris visszatérítő erő, tehát az egyenlet valóban harmonikus rezgőmozgást ír le. A bal oldal zárójeles tényezőjével osztva az egyenlet a gyorsulásra rendezett, így a második tag együtthatójából leolvasható a körfrekvencia:
\[\omega=\frac{DR}{\frac{\theta}R+mR}=\frac{D}{\frac{\theta}{R^2}+m},\]
melyből a periódusidő
\[T=2\pi\sqrt{\frac{\frac{\theta}{R^2}+m}{D}}\]