RLC körök mérése

A Fizipedia wikiből


A mérés célja:

  • megismerkedni a leggyakrabban használt frekvenciafüggő áramköri elemekkel és az ezekből felépülő szelektív áramkörökkel.

Ennek érdekében:

  • áttekintjük a váltakozó áramú hálózatok reaktáns elemeinek tulajdonságait és néhány egyszerű szűrő, valamint egy rezgőkör frekvenciafüggő viselkedését,
  • méréseket végzünk a fent említett hálózatokon.


Tartalomjegyzék


Elméleti összefoglaló

Tekercs

A tekercsben indukálódó feszültséget az

\[u(t) = L \frac{{\rm d}i(t)}{{\rm d}t}\]

egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [\setbox0\hbox{$i(t)=I_0\sin\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%] esetén

\[u(t) = L \omega I_0 \cos\omega t\]

ami a következő alakba is írható:

\[u(t) = L \omega I_0 \sin( \omega t + 90^\circ)\]

tehát a tekercsben fellépő feszültség 90°-ot siet az átfolyó áramhoz képest.

Kondenzátor

A kondenzátoron átfolyó áram időfüggését az alábbi egyenlet írja le:

\[i(t) = C \frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t}\]

Szinuszos gerjesztés [\setbox0\hbox{$u(t)=U_0\sin\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%] esetén:

\[i(t) = C\omega U_0\cos\omega t\]

ami a fentiekhez hasonlóan a következő alakba írható:

\[i(t) = C\omega U_0\sin(\omega t + 90^\circ)\]

azaz a kondenzátor árama 90°-ot siet a feszültségéhez képest.

Gyakran szükséges a kondenzátor feszültségének ismerete, ami a differenciális forma alapján az alábbiak szerint számítható:

\[u(t) = \frac{1}{C} \int i(t){\rm d}t\]

Aluláteresztő szűrő

Írjuk fel az 1/a és 1/b ábrákon látható kapcsolások kimenő feszültségeit! (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, \setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a képzetes egység. Ne feledjük, hogy mérni viszont csak valós mennyiségeket lehet, azaz a komplex mennyiségek abszolút értékét.)

1/a ábra
1/b ábra
\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{\rm ki} & = & \mathbf{U}_{\rm be} \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{\rm ki}}{\mathbf{U}_{\rm be}} & = & \frac{1}{1 + j\omega RC} \\ \\ \frac{U_{\rm ki}}{U_{\rm be}} & = & \left|\frac{1}{1 + j\omega RC}\right| \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{\rm ki} & = & \mathbf{U}_{\rm be} \frac{R}{R + j\omega L} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{\rm ki}}{\mathbf{U}_{\rm be}} & = & \frac{1}{1 + j\omega L/R} \\ \\ \frac{U_{\rm ki}}{U_{\rm be}} & = & \left|\frac{1}{1 + j\omega L/R}\right| \end{array} \]

A kimeneti és bemeneti feszültségek hányadosa, a hálózatra jellemző, frekvenciafüggő kifejezés. A két kifejezés formailag azonos, tehát a két kapcsolás azonos jellegű viselkedést mutat. Ameddig \setbox0\hbox{$\omega RC \ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vagy \setbox0\hbox{$\omega L/R \ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a kifejezések értéke 1; ha \setbox0\hbox{$\omega RC \gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vagy \setbox0\hbox{$\omega L/R \gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a hányados értéke \setbox0\hbox{$1/\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szerint csökken. Ez azt jelenti, hogy adott \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén az alacsony frekvenciájú jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneten, míg magasabb frekvenciákon a kimenő feszültség egyre kisebb. Ezeket a kapcsolásokat aluláteresztő szűrőknek nevezik.

Felüláteresztő szűrő

A 2/a és a 2/b ábrákon látható kapcsolásokat leíró egyenletek az előző pontban követett eljárás alapján az alábbiak szerint alakulnak.

2/a ábra
2/b ábra
\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{{\rm ki}} & = & \mathbf{U}_{{\rm be}} \frac{R}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{{\rm ki}}}{\mathbf{U}_{{\rm be}}}  & = & \frac{1}{1 + 1/j\omega RC} \\ \\ \frac{U_{{\rm ki}}}{U_{{\rm be}}}  & = & \left|\frac{1}{1 + 1/j\omega RC}\right| \end{array}  \]
\[  \begin{array}{rcl}  \mathbf{U}_{{\rm ki}} & = & \mathbf{U}_{{\rm be}} \frac{j\omega L}{R + j\omega L} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{{\rm ki}}}{\mathbf{U}_{{\rm be}}}  & = & \frac{1}{1 + R/j\omega L}  \\ \\ \frac{U_{{\rm ki}}}{U_{{\rm be}}}  & = & \left|\frac{1}{1 + R/j\omega L}\right| \end{array}  \]

A kifejezésekből jól látszik, hogy a kapcsolások a kisfrekvenciás jeleket nem engedik a kimenetre, míg a nagyfrekvenciás jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneti pontokon.

3. ábra

Sávzáró és sáváteresztő szűrő

Alul és felüláteresztő szűrők egymás után kapcsolásával és az áteresztési tartományok helyes megválasztásával előállítható olyan szűrő, amelyik csak egy meghatározott tartományban csillapítja a jelet. Az ilyen kapcsolást nevezik sávzáró szűrőnek. Ennek egy realizálása a 3. ábrán látható kettős T szűrő.

A kapcsolás részletes elemzése nélkül is megállapítható, hogy alacsony frekvenciákon a hosszági ellenállásokon, magas frekvenciákon a hosszági kondenzátorokon jut jel a kimenetre.

Ehhez hasonlóan alul- és felüláteresztő szűrőkből összeállítható olyan kapcsolás is, amely csak egy meghatározott tartományban engedi át a jeleket. Ezek a sáváteresztő szűrök.

Az eddig ismertetett szűrőkapcsolások passzív elemekből állnak, jellemzőjük, hogy a kimeneti jel az áteresztési tartományokban sem nagyobb a bemenetinél. Aktív eszközökkel (pl. műveleti erősítő) készíthető olyan szűrő, amelyik egyben a jel erősítését is elvégzi az áteresztési tartományban.

4. ábra

Soros rezgőkör

Kondenzátor és tekercs soros kapcsolását (a veszteségeket soros ellenállással figyelembe véve) soros rezgőkörnek nevezik (4. ábra).

A hálózat eredő impedanciája:

\[\mathbf{Z}(\omega) = R + j\omega L + 1/j\omega C\]
5. ábra

Az impedancia abszolút értéke és fázisszöge:

\[Z(\omega) = \sqrt{R^2 + (\omega L-1/\omega C)^2}\]
\[\tan\varphi = \frac{\omega L - 1/\omega C}{R}\]

A körben folyó áram:

\[I(\omega) = \frac{U_{be}}{\sqrt{R^2 + (\omega L-1/\omega C)^2}}\]
6. ábra

A \setbox0\hbox{$Z(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$I(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényeket ábrázolva a kapcsolás jellegzetes tulajdonságaira derül fény (5. ábra).

Látható, hogy az eredő impedanciának \setbox0\hbox{$\omega L = 1/\omega C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén az

\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]

körfrekvencián minimuma van, értéke valós, a veszteségi ellenállással egyezik meg. A jelenséget rezonanciának, \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t rezonancia-körfrekvenciának hívják. Ezen a körfrekvencián a körben folyó áram értéke maximális, úgynevezett áramrezonancia alakul ki. A bemeneti feszültség és a körben folyó áram közötti fázisszög az impedancia fázisszöge, ebben az esetben nulla. Ez az áram – kis veszteségi ellenállást feltételezve – igen nagy feszültségeket hozhat létre a kondenzátoron és a tekercsen. Azonban ezek a feszültségek egymással 180°-os szöget zárnak be, abszolút értékük megegyezik, hiszen azonos áram folyik át rajtuk (6. ábra).

Mérési feladatok

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

  • A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
7. ábra
  • Általános megjegyzések:
    • A méréshez szükséges alkatrészek egy átlátszó plexidobozban találhatók, banánhüvelyes kivezetésekkel. Az alkatrészek körülbelüli értékei a dobozról leolvashatók, illetve a mellékelt lapon is megtalálhatók.
    • Az egyes mérési feladatok elvégzésekor azokban a frekvenciatartományokban, ahol jelentős a kimenő jel változása, sűrűbben vegyen fel mérési pontokat!
    • Az oszcilloszkópot csak esetleges ellenőrzésre használja, a frekvenciákat és a feszültségeket a digitális műszerekkel kell mérni.

1. Mérje meg a dobozban található ellenállások értékét valamint a tekercsek ohmos ellenállását multiméterrel!

  • Az ellenállásmérést csak hálózatba be nem kötött elemeken szabad végezni!

2. Állítson össze aluláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! Mérje meg a kimenő feszültséget \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében! Ábrázolja a \setbox0\hbox{$20\lg(U_{ki}/U_{be})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%\setbox0\hbox{$\lg\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt! Illesszen a mért adatokra az elméletnek megfelelő görbét! Az illesztésből határozza meg a szűrőre jellemző \setbox0\hbox{$\omega_0 = 1/RC$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciát, majd ebből az ellenállás ismeretében a kondenzátor kapacitását! (\setbox0\hbox{$U_{be} \approx 1{\rm V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% legyen!)

  • A multiméterekkel mérhető frekvenciatartomány: 5 Hz – 100 kHz. Az \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékeket úgy kell kiválasztani a panelen lévők közül, hogy \setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lehetőleg ennek a tartománynak a közepe táján (0,5-1 kHz körül) legyen. Figyelem! A képletekből \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t számolunk, de a műszerek \setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-et mérnek!
  • A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához! Válaszát számítással indokolja.
  • Mivel az eredményeket logaritmikus skálán fogja ábrázolni, érdemes nagyjából logaritmikusan egyenletes sűrűséggel felvenni az adatokat. Pl.: 5 Hz, 10 Hz, 20 Hz, 50 Hz, 100 Hz, ...

3. Állítson össze felüláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! A feladatokat az 2. pont szerint végezze el!

  • Vegye észre, hogy az alul- és felüláteresztő szűrő ugyanaz a kapcsolás, csak az egyiknél az ellenálláson, a másiknál a kondenzátoron (ill. a tekercsen) mérjük a kimenő feszültséget. Mivel három műszer van, az egyikkel a bemenő feszültséget ellenőrizze, a másik kettővel pedig egyszerre lehet mérni az ellenálláson és a másik elemen eső feszültséget, így a két karakterisztika egyszerre felvehető.

4. Állítson össze aluláteresztő szűrőt tekercs felhasználásával. Végezze el az 2. pont szerinti feladatokat! Az illesztésből határozza meg a szűrőre jellemző \setbox0\hbox{$\omega_0 = R/L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciát, majd ebből az ellenállás ismeretében a tekercs induktivitását! (\setbox0\hbox{$U_{be} \approx 1{\rm V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% legyen!)

  • Az illesztés sokkal pontosabb lesz, ha figyelembe veszi, hogy a tekercs nem ideális, hanem (ismert, megmért) ohmos ellenállása is van.

5. Állítson össze felüláteresztő szűrőt tekercs felhasználásával! A feladatokat a 4. pont szerint végezze el!

  • Ez a két mérés az előzőkhöz hasonlóan szintén egyszerre elvégezhető.

6. Állítson össze kettős T-szűrőt! Mérje a kimenő feszültséget \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében! Ábrázolja \setbox0\hbox{$20\lg(U_{ki}/U_{be})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t \setbox0\hbox{$\lg\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében!

  • A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához!

7. Állítson össze soros rezgőkört! (\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% külön elemként legyen bekötve, mert a kör áramát az ellenálláson eső feszültségből fogja meghatározni.) A frekvencia függvényében mérje meg \setbox0\hbox{$U_R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$U_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, és \setbox0\hbox{$U_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékeit! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó áramot és az eredő impedanciát \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében. A mért adatokra illesszen megfelelő függvényeket, és az illesztésből határozza meg \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t. Az eredményt vesse össze a korábban mért L és C értékek alapján számított értékkel!

  • Melyik ellenállást célszerű választani az RLC-kör összeállításához, ha azt szeretné, hogy a rezonanciagörbe minél élesebb legyen? Válaszát indokolja!
  • Az illesztés pontosabb lesz, ha a tekercs (ismert) ohmos ellenállását is figyelembe veszi.