Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás forrásának megtekintése

==Karakterisztikus méretskálák==
<wlatex>
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől. 
Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszetével és fordítottan arányos a hosszával:
$$\vec{j}=\sigma \cdot \vec{E}, \ \ \ G=R^{-1}=\frac{A\cdot \sigma}{L}$$
Az Ohm-törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude-modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti 
$\tau_m$ karakterisztikus idő alatt $p_\mathrm{drift}=m\cdot v_\mathrm{drift}=eE\tau_m$ impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően $n$ elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség:
$$\vec{j}=n\cdot e\cdot v_\mathrm{drift}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \sigma=\frac{ne^2\tau_m}{m}.$$

Az elektronok két ütközés között eltelt $\tau_m$ momentumrelaxációs idő alatt $l_m=v_F\tau_m$ utat tesznek meg, ahol $v_F$ a 
Fermi-sebesség. A Drude-modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete ($L$) kisebb mint az ütközések skáláját jellemző $l_m$ momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk ''diffúzív'' vezetékeket ($L>l_m$), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba (1/a. ábra), illetve ''ballisztikus nanovezetékeket'' ($L<l_m$), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem (1/b. ábra).

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| align="center" style="width: 400px;"| [[Fájl:diffuziv_vezetek.png|közép|300px|]]
| align="center" style="width: 400px;"| [[Fájl:ballisztikus_vezetek.png|közép|300px|]]
|-
| align="center"|1/a. ábra. ''Diffúzív vezeték''
| align="center"|1/b. ábra. ''Ballisztikus vezeték''
|}

A két határeset között lényeges különbség jól szemléltethető az ellenállás hosszfüggésével: míg egy diffúzív vezeték ellenállása nő a vezeték hosszának növelésével, addig az 1/b. ábrán szemléltetett ballisztikus vezetékbe bejutó elektronok visszaszórás nélkül átjutnak a túloldalra, azaz az ellenállás nem függ a vezeték hosszától.

Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az $L_\phi$ ''fázisrelaxációs hossz'', akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes ''interferencia-jelenségeket'' mutatnak, melyeket az [[Interferencia és dekoherencia nanoszerkezetekben|''interferencia és dekoherencia nanoszerkezetekben'']] fejezetben szemléltetünk.

Szintén érdekes kérdés, hogy a vizsgált nanoszerkezetben megőrződik-e az elektronok spininformációja. Az ún. ''spindiffúziós hossznál'' ($L_s$) kisebb, mágnesesen rendezett tartományokat tartalmazó nanoszerkezetekben érdekes [[Spintronika|''spintronikai'']] jelenségeket tapasztalhatunk. 

További érdekes jelenségekkel találkozhatunk, ha a vezeték keresztmetszete az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, $L\sim \lambda_F$. Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.
</wlatex>

== Kvantumvezeték ellenállása ==
<wlatex>
Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ''ideális kvantumvezetékkel'', melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra). 

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| align="center"|[[Fájl:Qwire.png|közép|300px]]
|-
| align="center"|2. ábra. ''Ideális kvantumvezeték''
|}

''Hard wall'' határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye:
$$\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),$$
azaz hosszirányban ($x$) síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:
$$\varepsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2,$$
ahol $k$ az $x$-irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, $n$ pedig a kvantált keresztmódust ($y$-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3/a. ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. ''vezetési csatornákon'') keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi-energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi-szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát $M$-mel jelöljük. 

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| align="center"|[[Fájl:disp.png|közép|385px|]]
| align="center"|[[Fájl:disp_Biased.png|közép|350px|]]
|-
| align="center"|3/a. ábra. ''Diszperzós reláció ideális kvantumvezetékben''
| align="center"|3/b. ábra. ''Diszperzós reláció a mintára feszültséget kapcsolva''
|}


Ha a két elektrontartály közé $V$ feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3/b. ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív $k$-val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek $eV$-vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív $k$-val rendelkező állapotok. Áramot csak a $\mu_1$ ás $\mu_2$ kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív $k$-jú állapotok szállítanak, hiszen $\mu_2$ kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.

Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az állapotsűrűséget a következőképpen írhatjuk:
$$v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \varepsilon_n(k)}{\partial k},\ \ \ \ g_n=\frac{L}{2\pi}\left(\frac{\partial \varepsilon_n(k)}{\partial k}\right)^{-1}.$$ 
Az $eV$ energiasávban található elektronok sűrűségét $n_n=eV\cdot g_n/L$ képlettel számolhatjuk. A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:
$$I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,$$
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a $G_0=2e^2/h$ ''vezetőképesség-kvantum'' egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú transzláció-invariancia miatt az $x$ irányú impulzus megmarad, 
így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a $k$ hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek.

A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál $kT$ szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le:
$$f(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon -\mu}{kT}}+1}.$$
Az kvantumvezeték belsejében a $k>0$, bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda $f_l(\varepsilon)$ betöltési szám függvénye írja le, míg a $k<0$ állapotok a 2-es elektróda $f_2(\varepsilon)$ betöltési szám függvényével jellemezhetők, ahol $f_1$ és $f_2$ egymáshoz képest $eV$ energiával eltolt Fermi-függvények. Ez a leírás egyben az elektrontartályok tökéletességét is feltételezi, azaz a kvantumvezetékből az egyik elektródába érkező elektronok csak ''termalizálódás'' után szóródhatnak vissza a kvantumvezetékbe, így az elektródát elhagyó elektronok valóban az elektróda Fermi-függvénye szerinti energiaeloszlást követik. 
A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot az 
$$I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\varepsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \varepsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\varepsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \varepsilon f_1(\varepsilon),$$
$$I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\varepsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \varepsilon f_2(\varepsilon)$$
képletek írják le, azaz az eredő áram:
$$I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))=\frac{2 e}{h}e V.$$
Mivel $\int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))$ integrál tetszőleges hőmérsékleten $eV$-vel egyenlő, így egy egycsatornás ideális kvantumvezeték ellenállása tetszőleges hőmérsékleten a $G_0=2 e^2/h$ ''vezetőképesség-kvantum'', ami $\approx 12900\,\Omega$ ellenállásnak felel meg.
</wlatex>

== Landauer-formula ==
<wlatex>
Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen $\mathcal{T}$ valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben az elektródák felől a szórócentrum felé haladó állapotok továbbra is a megfelelő elektródából származnak, és ennek az eloszlásfüggvényét követik (lásd a 4. ábrán a $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponenseket). A szórócentrumtól az elektródák felé haladó állapotok viszont kevertek, pl. a $\mathrm{d}I_1^-$ áramjáruléknál egyaránt figyelembe kell venni az 1-es elektródából induló és a szórócentrumon reflektálódó, illetve a 2-es elektródából induló és a szórócentrumon transzmittálódó elektronokat.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| align="center"|[[Fájl:Qwire2.png|közép|300px]]
|-
| align="center"|4. ábra. ''Egycsatornás kvantumvezeték $\mathcal{T}$ átmeneti valószínűségű szórócentrummal''
|}

Zérus hőmérsékleten csak a $\mu_2$ kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az $\varepsilon<\mu_2$ állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is $\mu_2 <\varepsilon< \mu_1$ állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a $\mu_2 <\varepsilon< \mu_1$
energiasávban levő elektronok $\mathcal{T} =1$ esetén a korábbiak alapján $I=(2e^2/h)\cdot V$ áramot adnának, ami $\mathcal{T} <1$ esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz  $I=(2e^2/h)\cdot \mathcal{T} \cdot V$. Így egy egycsatornás, $\mathcal{T}$ transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége:
$$G=\frac{2e^2}{h}\mathcal{T} .$$

Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy $\mathrm{d}\varepsilon$ energiatartományban az áramjárulékuk:
$$\mathrm{d}I_1^+(\varepsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\varepsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon.$$
Ha az áramot a szórócentrum és az 1-es elektróda közötti vezetékdarabon akarjuk kiértékelni, akkor szükségünk van a $\mathrm{d}I_1^-$ áramjárulékra is, mely $\mathcal{T}$ valószínűséggel a 2-es elektródából bejövő módus transzmissziójából, $\mathcal{R}=1-\mathcal{T}$ valószínűséggel pedig pedig a az 1-es elektródából bejövő módus reflexiójából származik:
$$\mathrm{d}I_1^-(\varepsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\varepsilon)\cdot (1-\mathcal{T}) + \mathrm{d}I_2^-(\varepsilon)\cdot \mathcal{T},$$
így a negatív és pozitív irányba haladó áramkomponensek együttes járuléka:
$$\mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot \mathcal{T} \cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\epsilon.$$
A teljes áramot integrálással kapjuk meg: 
$$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\varepsilon.$$
A két Fermi-függvény különbsége a $\mu_1$ és $\mu_2$ kémiai potenciálok közötti energiatartományban, illetve a két kémiai potenciál körüli $kT$ energiatartományban különbözik zérustól. Feltételezve hogy ebben a tartományban a $\mathcal{T}$ transzmisszós valószínűség energiafüggetlen, és kihasználva a $\int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))=eV$ azonosságot a vezetőképességre véges hőmérsékleten is a 
$$G=\frac{2 e^2}{h}\cdot \mathcal{T}$$
eredményt kapjuk. Ha a transzmissziós valószínűség nem tekinthető energiafüggetlennek, akkor $\mathcal{T}$-t a releváns energiatartományra vett átlagos transzmissziós valószínűségnek kell tekinteni.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| align="center"|[[Fájl:Transzmisszios_matrix_2.png|közép|250px]]
|-
| align="center"|5. ábra. ''Többcsatornás kvantumvezeték leírása $\hat{t}$ transzmissziós mátrixszal''
|}

Több vezetési csatorna esetén a szórócentrum hatását egy komplex transzmissziós mátrixszal ($\hat{t}$) írhatjuk le, mely a bal oldalon az egyes csatornákban bejövő, azaz az elektródától a szórócentrum felé haladó illetve a jobb oldalon kimenő, azaz a szórócentrumtól az elektróda felé haladó módusok között teremt kapcsolatot: 
$$\left|  \mathrm{ki} \right>_2=\hat{t} \left| \mathrm{be} \right>_1.$$

Megmutatható, hogy a vezetőképesség ebben az esetben 
$$G = \frac{2 e^2}{h} \mathrm{Tr}(\hat{t}^\dagger \hat{t})$$
formában írható. A $\mathrm{Tr}(\hat{t}^\dagger \hat{t})$ kifejezést átírhatjuk $\sum_{i,j} t_{j,i}^* \cdot t_{j,i} = \sum_{i,j} \mathcal{T}_{j,i}$ formában, ahol $\mathcal{T}_{j,i}=|t_{j,i}|^2$ a bal oldali i-edik  csatornából a jobb oldali j-edik vezetési csatornába történő átszórás valószínűségét adja meg. Ennek megfelelően a vezetőképesség 
$$G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i,j} \mathcal{T}_{j,i}$$
formában írható.  Megfelelő bázisban a probléma diagonalizálható, azaz elérhető hogy a jobb oldali i-edik csatornából csak a bal oldali i-edik csatornába tudjanak szóródni elektronok. Ekkor a rendszer a nyitott vezetési csatornák számának megfelelő $N$ db. egymástól független egydimenziós vezetéknek tekinthető, melyek vezetőképesség-járulékát egyszerűen összegezhetjük: 
$$G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} \mathcal{T}_i.$$
A $\hat{t}^\dagger \hat{t}$ operátor sajátértékeinek megfelelő $\mathcal{T}_i$ transzmissziós együtthatók az i-edik ''sajátcsatorna'' transzmissziós valószínűségét adják meg.
</wlatex>

== Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban==
<wlatex>
Vegyünk egy olyan kétdimenziós kvantumvezetéket, melyben nincsenek szórócentrumok, a vezeték $W$ szélessége pedig lassan (adiabatikusan) változik a hossztengely mentén (6. ábra alsó panel). A lassan változó szélességnek köszönhetően a vezeték lokálisan mindenütt jól közelíthető egy párhuzamos falú vezetékdarabbal, és a hullámfüggvények leírhatók az adott szélességhez tartozó keresztirányú állóhullámokkal, illetve hosszirányú síkhullám terjedéssel. A 6. ábra felső panele a keresztirányú állóhullámokhoz tartozó energiát ábrázolja a vezeték mentén különböző vezetési csatornákra. Egyértelmű, hogy azon vezetési csatornák tudnak csak átjutni a vezetéken (ú.n. ''kvantum-pontkontaktuson''), melyek keresztirányú energiája a vezeték legkisebb keresztmetszeténél is a Fermi-energia alatt van. 

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| align="center"|[[Fájl:PointContact2.png|közép|500px]]
|-
| align="center"|6. ábra. ''Keresztirányú energiák egy adiabatikus kvantum-pontkontaktusban''
|}

A 7. ábra a vezetékben kialakuló diszperziós relációkat mutatja a vezeték két közeli tartományában. A jobb oldali panel egy kicsit keskenyebb vezetékszakaszhoz tartozik mint a bal oldali, így a nagyobb keresztirányú energia miatt a parabolikus diszperziók felfele tolódnak. Mivel a vezeték lokálisan közel transzlációinvariáns, így a hosszirányú impulzus és a $k$ hullámszám csak keveset változhat miközben az elektron egy adott tartományból eljut egy másik, közeli tartományba. Egy adott vezetési csatornában $k$ hullámszámmal rendelkező állapot a vezeték keskenyedése során csak úgy tud mindig kis impulzusváltozással előre haladni, ha ugyanabban a vezetési csatornában marad (lásd zöld nyíl). Más csatornába történő átszóródás, illetve visszaszóródás esetén $k$ jelentősen változna. Kicsit más a helyzet, ha az előrehaladás után az adott csatorna diszperziós relációjának alja a Fermi-energia fölé kerül, azaz az elektron nem tud továbbhaladni. Ebben az esetben az a legkisebb impulzusváltozással járó folyamat, ha nullához közeli de pozitív bejövő $k$-val rendelkező elektron ugyanazon csatorna $-k$ állapotába szóródik vissza (piros nyíl).

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| align="center"|[[Fájl:Adiabatic2.png|közép|800px]]
|-
| align="center"|7. ábra. ''Adiabatikus kvantumvezetékben az elektronok a saját vezetési csatornájukban haladnak előre, illetve ha a csatorna bezáródik, akkor visszaszóródnak''
|}

A fenti érvek alapján elmondható, hogy egy lassan változó szélességű kvantum-pontkontaktusban az összes olyan csatorna, melyhez tartozó keresztirányú energia a legkisebb keresztmetszetben is a Fermi-energia alatt van, $\mathcal{T}=1$ valószínűséggel transzmittálódik (lásd zöld görbék a 6. ábrán), az összes többi csatorna pedig $\mathcal{R}=1$ valószínűséggel reflektálódik (piros görbék a 6. ábrán), azaz a vezetőképesség a vezetőképesség-kvantum egész számú többszöröse:
$$G=\frac{2e^2}{h}M,$$
ahol $M$ a legkisebb keresztmetszetben ''elférő'' keresztirányú módusok száma.

Ez a jelenség kísérletekben is megfigyelhető, elsőként van Wees és szerzőtársai,<sup>[http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.60.848 1]</sup> illetve Wharam és szerzőtársai<sup>[http://dx.doi.org/10.1088/0022-3719/21/8/002 2]</sup> demonstrálták a vezetőképesség-kvantálást kétdimenziós elektrongáz-rendszerből kialakított kvantum-pontkontaktusban. A kísérletet sematikusan a 8. ábra szemlélteti. A kétdimenziós elektrongázban két felső kapuelektróda segítségével egy keskeny csatornát alakítunk ki, a csatorna szélessége a kapuelektródákra adott feszültséggel hangolható. Először a kapuelektródák alatt teljesen kiürítjük a kétdimenziós elektrongázt, majd a kapufeszültség változtatásával folyamatosan kinyitjuk a csatornát, és egyre szélesebb pontkontaktust alakítunk ki a két elektróda között. A vezetőképesség eközben lépcsőszerűen változik, először zérusról $2e^2/h$-ra nő, majd a vezetési csatornák egyenkénti kinyílásával a vezetőképesség-kvantum egész számú töbszöröseinél látunk platókat.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| align="center"|[[Fájl:2DEG_contact.ogv|bélyegkép|közép|800px|thumbtime=0:10]]
|-
| align="center"|8. ábra. ''Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban''
|}

Fontos megjegyezni, hogy egy félvezetőben - így a 8. ábrán szemléltetett kvantum-pontkontaktusban - az elektronok Fermi-hullámhossza párszor tíz nanométer nagyságrendű, így az elektronok ''nem látják'' az anyag atomi felépítéséből adódó, tized nanométer nagyságrendű egyenetlenséget, hanem egy sima, közel adiabatikus csatornát látnak. Ezzel szemben fémekben a Fermi-hullámhossz a szomszédos atomok távolságával összemérhető, így egyetlen vagy pár nyitott vezetési csatornával rendelkező pontkontaktust úgy kaphatunk, ha két elektródát mondjuk egyetlen atom köt össze. Ebben az esetben az elektronok a hullámhosszukkal azonos skálán változó, az anyag atomi felépítését tükröző potenciálban mozognak (lásd 9. ábra), melyről nem várjuk hogy adiabatikus legyen, azaz vezetőképesség-kvantálást sem várunk. A kísérletek ezt alá is támasztják,<sup>[http://dx.doi.org/10.1016%2FS0370-1573%2802%2900633-6 3]</sup> a legtöbb fémből készült atomi méretű kontaktusban ugyan csak pár nyitott vezetési csatorna áll rendelkezésre, de az azokhoz tartozó $\mathcal{T}_i$ transzmissziós sajátértékek általában tökéletlen transzmissziónak felelnek meg. Atomi mérető kontaktusok viselkedéséről röviden a [[Nanoszerkezetek előállítási és vizsgálati technikái#Önszerveződő_nanoszerkezetek|''Nanoszerkezetek előállítási és vizsgálati technikái'']] fejezetben számolunk be.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| align="center"|[[Fájl:PointContact.png|közép|300px]]
|-
| align="center"|9. ábra. ''A hullámhossz skáláján változó potenciálban nem várunk vezetőképesség-kvantálást''
|}
</wlatex>

==Hivatkozások==

===Fent hivatkozott szakcikkek===
[1] [http://prl.aps.org/abstract/PRL/v60/i9/p848_1 B. J. van Wees, H. van Houten, C. W. J. Beenakker, J. G. Williamson, L. P. Kouwenhoven, D. van der Marel, C. T. Foxon: ''Quantized conductance of point contacts in a two-dimensional electron gas'', '''Phys. Rev. Lett. 60'' p848–850 (1988)]

[2] [http://iopscience.iop.org/0022-3719/21/8/002/ D A Wharam, T J Thornton, R Newbury, M Pepper, H Ahmed, J E F Frost, D G Hasko, D C Peacock, D A Ritchie and G A C Jones: ''One-dimensional transport and the quantisation of the ballistic resistance'', '''Journal of Physics C: Solid State Physics 21''' L209 (1988)]

[3] [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157302006336 Nicolás Agrait, Alfredo Levy Yeyati, Jan M. van Ruitenbeek:  ''Quantum properties of atomic-sized conductors'', '''Physics Reports 377''', p81–279 (2003)]

===Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek===
*[http://books.google.hu/books/about/Electronic_Transport_in_Mesoscopic_Syste.html?id=28BC-ofEhvUC&redir_esc=y S. Datta: ''Electronic Transport in Mesoscopic Systems'', Cambridge University Press (1997)]
*[http://books.google.hu/books/about/Semiconductor_Nanostructures.html?id=qD6623gfAZgC&redir_esc=y Thomas Ihn: ''Semiconducting nanosctructures'', OUP Oxford (2010)]
*[http://books.google.hu/books?id=YNr4OcCExUcC&printsec=frontcover&dq=Nazarov+quantum+transport&hl=hu&sa=X&ei=2SzZUfGCMYna4ASDq4DQBQ&ved=0CDIQ6AEwAA Yuli V. Nazarov, Yaroslav M. Blanter: ''Quantum Transport: Introduction to Nanoscience'', Cambridge University Press (2009)]

===Ajánlott kurzusok===
*[[Új kísérletek a nanofizikában|''Új kísérletek a nanofizikában'', Halbritter András és Csonka Szabolcs, BME Fizika Tanszék]]
*[[Transzport komplex nanoszerkezetekben|''Transzport komplex nanoszerkezetekben'', Halbritter András, Csonka Szabolcs, Csontos Miklós, Makk Péter, BME Fizika Tanszék]]
*[[Alkalmazott szilárdtestfizika|''Alkalmazott szilárdtestfizika'', Mihály György, BME Fizika Tanszék]]
*[[Fizika 3 - Villamosmérnöki mesterszak|''Fizika 3'', Mihály György, BME Fizika Tanszék (mérnök hallgatóknak)]]
*[http://www.phy.bme.hu/~zarand/mezoszkopia.html ''Mezoszkopikus rendszerek fizikája'', Zaránd Gergely, BME Elméleti Fizika Tanszék]
*''Mezoszkopikus rendszerek fizikája'', Cserti József, ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék