\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{graphicx,amssymb,textcase,setspace,fancyhdr,enumerate}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{upgreek} %pl. görög mű mértékegységként ne legyen dőlt

\oddsidemargin=0truemm \evensidemargin=0truemm \marginparwidth=0pt
\topmargin=0truemm \marginparsep=0pt \textwidth=160truemm
\textheight=230truemm

\setlength{\parskip}{0pt plus 0pt}

\sloppy
\frenchspacing

\begin{document}

\begin{center}
\LARGE{Szilárd testek hőtágulási együtthatójának mérése}
\end{center}

\vspace{5mm}

\noindent Mérőpár: Példa Pál és Minta Mónika (S1/1)\\
Mérésvezető: Dr. Demo Dénes\\
Mérés időpontja: 2004.09.29.


\begin{abstract}
A laboratóriumi gyakorlat során egy fém minta lineáris hőtágulási
együtthatóját határoztuk meg a minta hőmérsékletének kontrollált
változtatásával és az adott hőmérsékletekhez tartozó mintahosszúság
mérésével. Az ezrelék alatti relatív megnyúlás tartományában
igazoltuk a hőmérsékletváltozás és a megnyúlás között feltételezett
lineáris kapcsolatot, valamint a hőtágulási együttható értéke
alapján azonosítottuk a vizsgált minta anyagát.
\end{abstract}


\section{Elméleti összefoglaló}

Kísérletek bizonyítják, hogy a nem túl nagy $\Delta t=t-t_{0}$
hőmérséklet-változás hatására fellépő $\Delta l=l-l_{0}$
hosszúságváltozás a $\Delta l=\alpha l_{0}\Delta t$ összefüggés
szerint arányos a test $t_{0}$ hőmérsékleten mért $l_{0}$  hosszával
és a hőmérséklet-változással, ahol $\alpha$ a vizsgált anyag
lineáris hőtágulási együtthatója \cite{1}. A lineáris hőtágulási
együttható tehát a mért hossz- és hőmérséklet-változásokból
számítható. A valóságban a hőtágulás csak kicsiny
hőmérséklet-változások, illetve mérsékelt pontosság esetében
közelíthető lineárisan. Abban az esetben, ha tágabb
hőmérséklet-intervallumban vagy nagyobb pontossággal vizsgáljuk a
hőtágulást, akkor az alábbi sorfejtés szerinti további állandókat is
be kell bevezetni $l=l_{0}\left(1+\alpha\Delta t+\beta\Delta
t^{2}+\ldots\right)$.


\section{Mérési elrendezés és a mérés menete}

A mérés célja $\alpha$ meghatározása. A kísérlet során egy hosszú
fémcső hőtágulását vizsgáljuk. A cső belsejében termosztát
segítségével szabályozható hőmérsékletű vizet keringtetünk. A minta
egyik vége csavarmikrométerhez, másik vége pedig a kis
hosszváltozások észlelését könnyítő mechanikai áttételhez
csatlakozik (\ref{fig1}.~ábra).

\begin{figure}[b!]\centering
\includegraphics[width=0.6\columnwidth]{fig1.eps}
\caption{\textit{A kísérleti elrendezés vázlata. A nyilak a
szabályozható hőmérsékletű víz áramlási irányát jelzik a vizsgált
mintadarabban. A mintadarab bal oldalán a mikrométercsavaros
rögzítés, jobb oldalon a hosszmérés elrendezése látható.}}
\label{fig1}
\end{figure}

A hőmérséklet mérése termopárral történik, amelynek referencia
pontját olvadó jégbe helyezzük. A termopár hőfoktényezője 37
$\upmu$V/K. Ez alapján a cső hőmérséklete a
\begin{equation}
t[\mathrm{K}]=\frac{U[\mathrm{mV}]}{0,037}
\end{equation}
összefüggés szerint határozható meg.

A mérés során először meg kell győződnünk arról, hogy valóban van-e
jég a termopár megfelelő végénél. Ezután megmértük a cső hosszát,
amire $t_{0}=$ 21,62 $^{\circ}$C hőmérsékleten $l_{0}=$
(0,53$\pm$0,002) m adódott. A hibát az okozza, hogy maga a cső
nehezen volt hozzáférhető, ezért a mérést bizonytalanság terheli,
amelyet 2 mm-re becsülünk. Ezt követően bekapcsoltuk az áramoltatót
és a fűtést, majd 2-3 perc hőmérséklet stabilizálódás után
leolvastuk a termofeszültség értékét és a minta hosszváltozását. A
mérést nagyjából $t=$ 40$^{\circ}$C-nak megfelelő feszültség
értékig végeztük. A termofeszültséget $\upmu$V pontossággal mértük, de
a cső hőmérséklete nem mindenhol teljesen egyforma, így a
hőmérsékletmérés hibáját 0,1$^{\circ}$C-nak becsüljük.


\section{Mérési eredmények és kiértékelésük}

A mért termofeszültség és hosszváltozás, valamint a származtatott
hőmérséklet adatokat az \ref{table1}.~táblázat tartalmazza.

\begin{table}[b!]
\caption{\textit{A mért termofeszültség és megnyúlás adatok és a
származtatott hőmérséklet értékek.}} \centering
\begin{tabular}{p{20mm}p{20mm}p{20mm}p{20mm}}
\hline
$U$ (mV)&$t$ ($^{\circ}$C)&$\Delta t$ ($^{\circ}$C)&$\Delta l$ (m)\\
\hline\hline
0,80&21,62&0&0\\
0,85&22,97&1,35&1,$4\cdot 10^{-5}$\\
0,90&24,32&2,70&2,$8\cdot 10^{-5}$\\
0,95&25,68&4,05&4,$3\cdot 10^{-5}$\\
1,00&27,03&5,41&5,$7\cdot 10^{-5}$\\
1,05&28,38&6,76&7,$0\cdot 10^{-5}$\\
1,10&29,73&8,11&8,$3\cdot 10^{-5}$\\
1,15&31,08&9,46&9,$4\cdot 10^{-5}$\\
1,20&32,43&10,81&$1,09\cdot 10^{-4}$\\
1,25&33,78&12,16&$1,23\cdot 10^{-4}$\\
1,30&35,14&13,51&$1,41\cdot 10^{-4}$\\
1,35&36,49&14,86&$1,66\cdot 10^{-4}$\\
1,40&37,84&16,22&$1,79\cdot 10^{-4}$\\
1,45&39,19&17,57&$1,94\cdot 10^{-4}$\\
1,50&40,54&18,92&$2,10\cdot 10^{-4}$\\
\hline
\end{tabular}
\label{table1}
\end{table}

Az egyes $\Delta t$ hőmérséklet-változásokhoz tartozó $\Delta l$
hosszváltozás értékek, valamint a rájuk legkisebb négyzetek
módszerével illesztett $y = bx$ alakú egyenes a \ref{fig2}.~ábrán
láthatóak. Az illesztett egyenes $b$ =
(1,0$\pm$0,012)$\cdot$10$^{-5}$ m/K meredekségéből számolva az
$\alpha$  hőtágulási együttható értéke
\begin{equation}
\alpha=\frac{\Delta l}{\Delta
t}\cdot\frac{1}{l_{0}}=\frac{b}{l_{0}}=1,89\cdot10^{-5}\mathrm{K}^{-1}\mbox{.}
\end{equation}
A hőtágulási együttható relatív hibája
\begin{equation}
\frac{\Delta\alpha}{\alpha}=\frac{\Delta b}{b}+\frac{\Delta
l_{0}}{l_{0}}=\frac{0,012}{1,0}+\frac{0,002}{0,53}=0,016\mbox{,}
\end{equation}
így $\alpha$ értékére (1,89$\pm$0,03)$\cdot$10$^{-5}$ K$^{-1}$
adódik.

Ez az érték nagyon közel esik az ón lineáris hőtágulási
együtthatójához ($\alpha_{\rm Sn}$ = 2,20$\cdot$10$^{-5}$ 1/K)
\cite{2}, de a cső valószínűleg alumíniumból ($\alpha_{\rm Al}$ =
2,31$\cdot$10$^{-5}$ 1/K) \cite{2} van. Ehhez az értékhez is közel
van a mért érték, de nem hibahatáron belül. Ennek egyik lehetséges
oka, hogy a cső ötvözött alumíniumból készült.

\begin{figure}[t!]\centering
\includegraphics[width=0.6\columnwidth]{fig2.eps}
\caption{\textit{A mért megnyúlás értékek a referencia
hőmérséklettől való eltérés függvényében. A folytonos vonal a mérési
adatokra a legkisebb négyzetek módszeréveé illesztett, origón átmenő
egyenest mutatja.}} \label{fig2}
\end{figure}

\section{Az eredmények összefoglalása}

A laboratóriumi gyakorlat során egy fém minta lineáris hőtágulási
együtthatóját határoztuk meg a minta hőmérsékletének kontrollált
változtatásával és az adott hőmérsékletekhez tartozó mintahosszúság
mérésével. Az ezrelék alatti relatív megnyúlás tartományában
igazoltuk a hőmérsékletváltozás és a megnyúlás között feltételezett
lineáris kapcsolatot. A  feltételezésünk szerint alumínium ötvözet
minta hőtágulási együtthatójának általunk mért és a szakirodalomban
elfogadott értékei között jó nagyságrendi egyezést találtunk.

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, \textit{Solid State Physics}, Saunders College, 1976.
\bibitem{2} \textit{WebElements: the periodic table on the web}\\
http://www.webelements.com/physics.html
\end{thebibliography}

\end{document}
