Kvantált Hall-jelenség

A Fizipedia wikiből
(Kvantált Hall-effektus szócikkből átirányítva)

Tartalomjegyzék

Klasszikus Hall-effektus


A Hall-effektust 1879-ben Edwin Hall fedezte fel. A jelenség lényege, hogy ha egy síkszerű elektromos vezetőben a síkra merőleges mágneses tér jelenlétében áram folyik, akkor a vezető két oldala között az elektronokra ható Lorentz-erő miatt feszültség jelenik meg.

Hall geometria.png
1. ábra. Hall-jelenség méréséhez használt elrendezés

A Hall-jelenséget általában az 1. ábrán bemutatott Hall-elrendezésben szokták mérni. Az x irányú \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram az 1. és 2. kontaktus között folyik. Ha a mérést zérus mágneses térben végezzük, akkor a 4. és 5. kontaktus között (y irányban) nem mérünk feszültséget. A 3. és 4. kontaktus között mért \setbox0\hbox{$V_{xx}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% longitudinális feszültség és az áram arányából pedig a minta négypont ellenállását kapjuk meg. A minta síkjára merőleges (z irányú) mágneses teret kapcsolva a 4. és 5. kontaktus között \setbox0\hbox{$V_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Hall-feszültség jelenik meg, melynek az értéke a mágneses tér nagyságával lineárisan változik (2. ábra, piros görbe). A 3. és 4. kontaktus között (kismértékű mágneses ellenállástól eltekintve) továbbra is a zérus térben tapasztalt longitudinális ellenállást mérjük (2. ábra, kék görbe).

Hall R.jpg
2. ábra. Hall-feszültség és longitudinális feszültség változása a mágneses térrel

A Hall-jelenség jól leírható klasszikus, Drude-közelítésben. Az egyszerűség kedvéért számoljunk két dimenzióban. Az elektronok \setbox0\hbox{$m v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% impulzusának idő szerinti deriváltját az elektronokra ható erők összegeként kapjuk meg. A \setbox0\hbox{$-eE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektromos, illetve \setbox0\hbox{$-ev\times B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Lorentz erő mellett figyelembe vesszük azt is, hogy a a kristályban történő szóródások következtében az elektronok átlagosan \setbox0\hbox{$\tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% momentumrelaxációs idő alatt elveszítik impulzusukat:

\[m \frac{dv}{dt}=-eE-ev \times B - m \frac{v}{\tau_m}.\]

A sebesség helyett vezessük be a \setbox0\hbox{$j=-e n v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramsűrűséget, ahol \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektronok (kétdimenziós) sűrűsége. Az egyenletet átrendezve az alábbi mátrixegyenletet kapjuk az elektromos tér és az áramsűrűség komponensei között:

\[\left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} m/e^2 n \tau_m & B/e n \\ -B/e n & m/e^2 n \tau_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \rho_{xx} & \rho_{xy} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right).\]

Az áramot x irányba folyatva és x irányú feszültséget mérve a minta longitudinális ellenállását a \setbox0\hbox{$\rho_{xx}=m/e^2 n \tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajlagos ellenállásból kaphatjuk meg a geometriai faktorokkal történő skálázás után.

A fenti számolásból jól látszik, hogy véges mágneses térben x irányú áram esetén y irányú feszültség is megjelenik. A Hall-ellenállást a 4. és 5. kontaktusok között megjelenő \setbox0\hbox{$V_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Hall-feszültség és az \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram hányadosaként definiáljuk. Két dimenzióban ez megegyezik az y irányú elektromos tér és az x irányú áramsűrűség arányával:

\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{E_y}{j_x}=\rho_{yx}=-\frac{B}{e n}.\]

Egyszerű számolásunkból jól látszik, hogy a Hall-ellenállás a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mágneses térrel egyenesen arányos, és ezen kívül csak az elektronok sűrűségétől függ, azaz az \setbox0\hbox{$\tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relaxációs idő a longitudinális ellenállástól eltérően a Hall-ellenállásban nem jelenik meg. Ennek köszönhetően a Hall-ellenállás mérése általánosan bevett módszer félvezetők elektronsűrűségének meghatározására. Érdemes megjegyezni, hogy \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-típusú félvezetőkben, azaz amikor az áramot nem elektronok, hanem lyukak vezetik, a Hall-ellenállás előjelet vált. A Hall-jelenséget - amellett hogy a szilárdtestfizika alapvető mérési módszerei közé tartozik - a hétköznapokban is gyakran használjuk különböző elektronikai eszközökben elhelyezett mágneses tér szenzorok formájában.

Hall-jelenséget elsősorban félvezetőkben szoktak tanulmányozni, hiszen az alacsony elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás viszonylag könnyen mérhető. Fémekben a nagy elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás értéke sokkal kisebb, de precíziós műszerekkel fémekben is vizsgálható a Hall-jelenség. Mindezekről a fizikushallgatók maguk is meggyőződhetnek a Hall-effektus c. hallgatói mérés során.

Kvantált Hall-effektus

Klaus von Klitzing meglepő felfedezése


A Hall-jelenséget megfelelően nagy tisztaságú kétdimenziós elektrongázban (2DEG) és elegendően nagy mágneses térben vizsgálva nagyon meglepő viselkedést tapasztalunk. A Hall-ellenállás a lineáris térfüggés helyett lépcsőszerűen változik, a longitudinális ellenállás pedig zérus értéket vesz fel (\setbox0\hbox{$V_{xx}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) azokban a mágneses tér tartományokban, ahol a Hall-ellenállás vízszintes platót mutat (lásd 3. ábra).

Qunatum Hall Effect.png
3. ábra. Kvantált Hall-jelenség, forrás: Wikipedia

A kvantált Hall-ellenállás értékeket egy univerzális állandó és egy egész szám hányadosaként kapjuk meg:

\[R_H=\frac{h}{e^2 n}, \;\;\;n=0,1,2,\dots,\]

ami a spindegeneráció miatti 2-es szorzótól eltekintve a vezetőképesség kvantálás képletének felel meg. A tapasztalatok szerint a kvantált \setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékek függetlenek a minta alakjától, méretétől, anyagától, és \setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kísérletileg meghatározott értékei akár \setbox0\hbox{$10^{-7}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontossággal leírhatók a fenti egyszerű képlettel, azaz a kvantált Hall-platók ellenállás-standardként is jól használhatók.

A kvantált Hall-jelenséget Klaus von Klitzing fedezte fel 1980-ban.1 Pár évvel később (1985-ben) felfedezését Nobel-díjjal jutalmazták.

A következő Nobel-díj: tört számú kvantált Hall-effektus


A kvantált Hall-jelenség felfedezése óriási érdeklődést váltott ki, és nem kellett sokat várni újabb meglepő kísérleti eredményekre. Daniel Tsui és Horst Störmer kísérletei 1982-ben megmutatták,2,3 hogy még tisztább kétdimenziós elektrongázban és még nagyobb mágneses térben a Hall-ellenállás

\[R_H=\frac{h}{e^2 \nu},\;\;\; \nu=\frac{p}{q}, \;\;\; p,q=0,1,2,\dots\]

értékeket vehet fel, ahol \setbox0\hbox{$\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% már nem egész szám, hanem bizonyos egész számok hányadosa. A Hall-platók tartományában a longitudinális feszültség továbbra is zérus, \setbox0\hbox{$V_{xx}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A későbbiekben látni fogjuk, hogy Klaus von Klitzing felfedezése, az egész számú kvantált Hall-effektus (IQHE, integer quantum Hall effect) egy viszonylag egyszerű modellel magyarázható, melyben az elektronok kölcsönhatását nem kell figyelembe venni. Ezzel szemben Tsui és Störmer méréseiben tapasztalt tört számú kvantált Hall-effektus (FQHE, fractional quantum Hall effect) magyarázatában az elektronok kölcsönhatása fontos szerepet kap, a jelenség úgynevezett kompozit fermion részecskék bevezetésével írható le, mely Robert Laughlin nevéhez kötődik.4

Tsui és Störmer kísérleti felfedezését, illetve Laughlin kísérletekre adott elméleti magyarázatát 1998-ban Nobel-díjjal jutalmazták.

A harmadik Nobel-díj: anomális kvantált Hall-effektus grafénban


A kvantált Hall-effektus egy közelmúltban kiosztott Nobel-díjjal kapcsolatban is előtérbe került. 2010-ben Andre Geim és Konstantin Novoselov grafénon, azaz egyetlen grafit síkon végzett kísérleteit jutalmazták Nobel-díjjal, melynek keretében alapvető jelentőségű volt a grafénon tapasztalható anomális kvantált Hall-jelenség megmutatása.5 Grafénon a Hall-ellenállás az elektrosztatikus potenciáltól függően egyaránt lehet pozitív és negatív, a kvantált értékek pedig

\[R_H=\pm\frac{h}{e^2}\frac{1}{4(m+1/2)}, \;\;\; m=0,1,2,\dots \]

képlet segítségével írhatók le. A kétdimenziós elektrongáz rendszerekkel ellentétben grafénban a kvantált Hall-effektus szobahőmérsékleten is megfigyelhető.6

AnomKvantHall.png
4. ábra. Anomális kvantált Hall-jelenség grafénban, forrás: Tóvári Endre diplomamunka, BME Fizika Tanszék, 2011.

A továbbiakban az egész számú kvantált Hall-jelenség leírását szemléltetjük. A grafén fizikájáról egy külön fejezet keretében adunk leírást.

Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók


Vizsgáljuk egy kétdimenziós szabad elektrongáz viselkedését a 2DEG síkjára merőleges mágneses térben!

2DEG.jpg
5. ábra. Ciklotronpálya mágneses térbe helyezett 2DEG-ben

Klasszikusan az elektronok ciklotronpályákon mozognak (5. ábra) \setbox0\hbox{$\omega_c=eB/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciával, azaz a körfrekvencia nem függ az elektronok sebességétől, csak a mágneses tértől. A körpálya sugara klasszikusan tetszőleges lehet az elektron sebességétől függően, kvantummechanikai tárgyalásban viszont a körpálya sugarának (illetve a mozgás energiájának) kvantáltságát várjuk. A Bohr - Sommerfeld kvantálási feltétel alapján meghatározhatjuk a lehetséges legkisebb sugarat (ciklotronsugár):

\[2 \pi r_c = \lambda = \frac{2 \pi \hbar}{p} = \frac{2 \pi \hbar}{m \omega_c r} \;\; \Longrightarrow \;\; r_c=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_c}}.\]

A kvantummechanikai viselkedés részletesebb leírásához oldjuk meg a rendszer Schrödinger-egyenletét. A Hamilton-operátor:

\[\hat{H}=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2),\]

ahol a sebességoperátor a \setbox0\hbox{$\hat{v}_i=(\hat{p}_i+e\hat{A}_i)/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% képlettel származtatható a kanonikus impulzus operátorból, illetve a vektorpotenciálból. A minta síkjára (x,y) merőleges (z irányú) B térnél a vektorpotenciál az általánosság megszorítása nélkül vehető úgy, hogy csak x és y komponenssel rendelkezzen, azaz \setbox0\hbox{$A=(A_x(x,y),\;A_y(x,y))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Számoljuk ki a sebességoperátor x és y komponensének a kommutátorát!

\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{1}{m^2}[\hat{p}_x+e\hat{A}_x,\;\hat{p}_y+e\hat{A}_y]=\frac{\hbar e}{i m^2}\left([\partial_x,A_y]+[A_x,\partial_y] \right)=\frac{\hbar e}{i m^2}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=\frac{\hbar e B}{i m^2},\]

azaz:

\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{\alpha}{i},\;\;\;\alpha=\frac{\hbar \omega_c}{m}.\]

Vezessünk be új operátorokat: \setbox0\hbox{$\hat{a}=(i\hat{v}_x+\hat{v}_y)/\sqrt{2 \alpha},\;\;\; \hat{a}^+=(-i\hat{v}_x+\hat{v}_y)/\sqrt{2 \alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az új operátorok segítségével a Hamilton operátor

\[\hat{H}=\hbar \omega_c \left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\hbar \omega_c + \frac{\hbar \omega_c}{2 \alpha}(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2-i\hat{v}_x\hat{v}_y+i\hat{v}_x\hat{v}_y)=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2)\]

formában írható fel, a két új operátor kommutátora pedig:

\[[\hat{a},\hat{a}^+]=\frac{1}{2 \alpha}[i\hat{v}_x+\hat{v}_y, -i\hat{v}_x+\hat{v}_y]=1.\]

Látszik, hogy az új operátorok segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor problémájára vezettük vissza a Schrödinger egyenletet, így további számolás nélkül megállapíthatjuk, hogy a mágneses térben mozgó elektronok lehetséges energiái a harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan kvantáltak:

\[E=\hbar \omega_c \left( n+\frac{1}{2}\right).\]

A kvantált energiaszinteket Landau-nívóknak hívjuk.

LandauNivo.jpg
6. ábra. 2DEG állapotsűrűségének energiafüggése zérus \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térben, illetve nagy mágneses térben kialakult Landau-nívók esetén

Ahogy a 6. ábra mutatja, a mágneses tér bekapcsolása alapvetően megváltoztatja az elektronok állapotsűrűségének energia szerinti eloszlását. Mágneses tér nélkül az elektronok állapotsűrűsége konstans (energiafüggetlen), \setbox0\hbox{$g(\varepsilon)=2A m/2 \pi \hbar^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Nagy mágneses térben csak a kvantált Landau-szinteken helyezkedhetnek el elektronok, ezek a diszkrét energiaszintek viszont szükségszerűen sokszorosan degenerált állapotok. D-szeres degenerációt feltételezve az állapotsűrűség: \setbox0\hbox{$g(\varepsilon)=D \delta(\varepsilon-\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Mivel az elektronok száma a mágneses tér bekapcsolásával nem változik, így feltételezhető hogy egy Landau-szinten levő állapotok zérus térben \setbox0\hbox{$\hbar \omega_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű energiatartományban helyezkednek el. Így egy Landau-szint degenerációja (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve):

\[D=\hbar \omega_c 2 \frac{A m}{2 \pi \hbar^2}=\frac{2 e B A}{h} \;\; \Longrightarrow \;\; D=\frac{2 \Phi}{\Phi_0},\]

ahol \setbox0\hbox{$\Phi=B A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a teljes fluxus\setbox0\hbox{$, \Phi_0=h/e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a fluxuskvantum. Egy teljesen betöltött Landau-szinten a fentiek alapján az elektronsűrűség: \setbox0\hbox{$n=2 e B/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A Landau-szintek magasfokú degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületén összesen\setbox0\hbox{$N\approx 2A/r_c^2\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással \setbox0\hbox{$N=4\Phi/\Phi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% adódik, azaz naiv számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau-nívók fent kiszámolt degenerációs fokát.

A Landau-szintek kialakulásának fontos feltétele, hogy az elektronok a ciklotronpályát két ütközés között sokszor bejárják, azaz a cikotronpálya periódusideje a momentumrelaxációs időnél sokkal kisebb legyen, \setbox0\hbox{$\omega_c^{-1} \ll \tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ez akkor teljesül, ha \setbox0\hbox{$B \gg \mu^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol \setbox0\hbox{$\mu=e \tau_m /m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektronok mobilitása a 2DEG-ben, azaz Landau-szinteket csak kellően tiszta mintában és kellően nagy mágneses térben látunk. További fontos feltétel, hogy Landau-szintek közötti energiakülönbség nagyobb legyen a hőmérsékletnél és a feszültségnél, \setbox0\hbox{$\hbar \omega_c >> k T,\; eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Ciklotronpályák középpontjának mozgása


Nagy mágneses térben azt várjuk, hogy az elektronok egy középponti \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kordináta körül nagyon kis, \setbox0\hbox{$\approx r_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú ciklotronmozgást végeznek. Klasszikusan az elektron éppen aktuális \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyzetét \setbox0\hbox{$r = r_0 + \Delta r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakban írhatjuk, ahol \setbox0\hbox{$\Delta r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a középpontból az aktuális ponta mutató vektor (7. ábra).

Ciklotron.jpg
7. ábra.

Körmozgás esetén az elektront körpályán tartó centripetális erőt \setbox0\hbox{$F_{cp} = -m\omega^2\Delta r = - e v \times B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakban írhatjuk, ami jelen esetben értelemszerűen a Lorentz-erővel egyezik meg. Ez alapján a körpálya középpontját formálisan

\[r_0 = r-\frac{e}{m \omega^2} v \times B\]

alakban írhatjuk.


Játsszunk el a gondolattal, hogy az \setbox0\hbox{$r_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátát kvantummechanikai tartalommal ruházzuk fel a ciklotronpályák középpontjának helyét leíró operátorként! Komponensenként kifejtve:

\[\hat{x}_0=\hat{x}-\frac{\hat{v}_y}{\omega_c},\;\; \hat{y}_0=\hat{y}-\frac{\hat{v}_x}{\omega_c}.\]

Vizsgáljuk meg, hogy a középponti koordináta várható értéke hogyan változik az idő függvényében:

\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}]\rangle - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x+\hat{v}^2_y,\hat{v}_y]\rangle = \hat{v}_x - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x,\hat{v}_y]\rangle = 0,\]
és hasonlóan:
\[\frac{d}{d t}\langle\hat{y}_0\rangle = 0,\]

azaz a várakozásoknak megfelelően a ciklotronpályák középpontja nem mozog.

Érdemes kiszámolni a középponti koordináták operátorainak kommutátorát is:

\[[\hat{y}_0,\hat{x}_0] = \left[\hat{y} + \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \hat{x} - \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = -\left[\hat{y}, \frac{\hat{p}_y}{m \omega_c} \right] + \left[\frac{\hat{p}_x}{m \omega_c}, \hat{x}\right] - \left[ \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = \frac{\hbar}{i m \omega_c} = \frac{r_c^2}{i}.\]

Tetszőleges két fizikai mennyiség operátorára fennáll az általános Heisenberg-féle határozatlansági reláció, azaz:

\[\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle[ \hat{A}, \hat{B} ]\rangle|.\]

Ezt az összefüggést a középponti koordináta két komponensének operátorára vonatkoztatva

\[\Delta x_0 \cdot \Delta y_0 \geq \frac{r^2_c}{2}\]

adódik, azaz a ciklotronpálya középpontjának x és y írányú kvantummechanikai bizonytalanságát összeszorozva pont az \setbox0\hbox{$r_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ciklotronsugár négyzete köszön vissza, egy elektron legalább \setbox0\hbox{$r_c^2/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyet foglal. Ez alapján körszimmetrikus hullámfüggvényt feltételezve a ciklotron pályák x és y irányban is \setbox0\hbox{$\approx r_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kiterjedésűek.

Bezáró és random potenciál


Az eddigiekben a Schrödinger-egyenletben csak az elektronok kinetikus energiáját vettük figyelembe. Egy valós, véges méretű mintában a minta széleinél jelentkező bezáró potenciált, illetve a felületi töltések és szennyezők hatásaként a minta belsejében jelentkező potenciálfluktuációkat is figyelembe kell venni (8. ábra):

\[\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{U} = \hat{H}_0 + \hat{U}_\mathrm{bezaro} + \hat{U}_\mathrm{flukt}.\]
QHall potential.png
8. ábra. Landau-szintek módosulása a a minta szélénél a bezáró potenciál, illetve a minta belsejében jelentkező fluktuáló potenciál miatt

Az \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% potenciált perturbációként kezelve, és feltételezve hogy \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lassan változik a hullámfüggvény tipikus kiterjedéséhez, \setbox0\hbox{$r_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-hez képest (azaz elegendően nagy a mágneses tér) az energiária egyszerűen

\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}) + \langle \Psi | U | \Psi \rangle \approx E=\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}) + U(x_0,y_0)\]

adódik, azaz a kvantált Landau-szintek energiáit a hullámfüggvény középpontjánál vett potenciál értékével korrigáljuk.

Véges \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén az elektronok mozgását úgy képzeljük el, hogy a gyors (\setbox0\hbox{$\omega_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciájú) és kis (\setbox0\hbox{$\sim r_c^2 \sim 1/B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) területre koncentrált ciklotronmozgás mellett a ciklotronpályák középpontjának koordinátái a potenciál hatására haladó mozgást végeznek. Írjuk fel a mozgásegyenletet \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra:

\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}_0]\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H}_0,\hat{x}_0]\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{U},\hat{x}_0]\rangle = - \frac{i}{\hbar m \omega_c} \langle[\hat{U},\hat{p}_y]\rangle = - \frac{1}{m \omega_c} \langle[U,\partial_x]\rangle = \frac{1}{e B} \left< \frac{\partial U}{\partial y}\right> \approx \frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial y_0},\]

ahol megintcsak feltételeztük, hogy a hullámfüggvény kiterjedése kicsi \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% változásának skáláján. Hasonlóan:

\[\frac{d}{d t}\left< \hat{y}_0\right> = -\frac{1}{e B} \left< \frac{\partial U}{\partial x}\right> \approx -\frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial x_0}.\]

A fentiek alapján számoljuk ki a potenciál változását a pálya mentén, azaz \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% idő szerinti teljes deriváltját:

\[\frac{d U}{d t}=\frac{\partial U}{\partial x_0} \cdot \dot{x}_0 + \frac{\partial U}{\partial y_0} \cdot \dot{y}_0 = \frac{c}{e H} \left( \frac{\partial U}{\partial x_0} \frac{\partial U}{\partial y_0} - \frac{\partial U}{\partial y_0} \frac{\partial U}{\partial x_0} \right) = 0.\]

Számolásunk alapján a ciklotronpályák középpontja ekvipotenciális felületek mentén mozog!

Elektrontranszport egyetlen Landau-nívó esetén


Tételezzünk fel olyan mágneses teret, melynél a Fermi-energia az első és második Landau-szint között helyezkedik el, azaz az első Landau-szint teljesen betöltött, a második pedig betöltetlen (lásd 9. ábra, bal oldal). Ebben az esetben a Fermi-energiánál a minta széleinél találunk csak állapotokat a bezáró potenciálnak köszönhetően, a minta belsejében egy tiltott sávot tapasztalunk a Fermi-energia és a betöltött Landau-szint között. Ebben az esetben elektrontranszport csak a minta szélei mentén megengedett, ahol az elektronok energiája metszi a Fermi-energiát. Mivel a minta két szélét elválasztó makroszkopikus méretű tartományban az elektrontranszport nem megengedett, így a minta két széle között nem történhet átszóródás (9. ábra, jobb oldal).

QHall elallapot.png
9. ábra. A tömbi Landau-szintektől távol áram csak az élállapotok mentén folyhat, a két él között nincs átszóródás

Vizsgáljuk meg a minta felső széle mentén az elektronpályák középpontjának mozgását. Korábban kiszámolt képletünk alapján:

\[\dot{x}_0=\frac{1}{e B} \frac{\partial U_\mathrm{bezaro}}{\partial y_0} > 0,\]

azaz, mivel a felső élnél a bezáró potenciál y szerinti deriváltja pozitív, így az elektronok pozitív x irányban mozognak. Y irányban a bezáró potenciál nem változik, így az elektronok középpontjának y irányú sebessége zérus. Hasonlóan megállapítható, hogy a minta alsó szélénél az elektronok negatív x irányú mozgást végeznek.

Az előbbi megállapítás önmagában elég ahhoz, hogy a kvantált Hall-effektus egyik meglepő tulajdonságát megértsük. Mivel a felső él mentén csak pozitív irányban haladhatnak az elektronok, és az alsó és felső élállapotok között nem megengedett az átszórás, így a felső él mentén mozgó elektronok mind a baloldali elektródából származnak, azaz kémiai potenciáljuk \setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Hasonlóképpen az alsó él mentén mozgó elektronok mind a jobb oldali elketródából származnak, azaz \setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kémiai potenciállal rendelkeznek (9. ábra, jobb oldal). Így érthető, hogy egy él mentén mért hosszirányú feszültség zérus, a két él között pedig a két elektróda kémiai potenciál különbségének megfelelő Hall-feszültség jelentkezik,

\[V_{xx}=0,\;\; V_H=(\mu_1-\mu_2)/e.\]

A Hall-ellenállás meghatározásához az élállapotokon keresztül folyó áramot is meg kell határoznunk. Először számoljuk ki, hogy egy élállapot \setbox0\hbox{$d\varepsilon$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű energiatartománya mekkora járulékot ad az áramhoz. A \setbox0\hbox{$d\varepsilon$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiatartomány \setbox0\hbox{$dy$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű térbeli tartománynak felel meg az él mentén, ahol \setbox0\hbox{$d\varepsilon/dy$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a potenciál y szerinti deriváltja (10. ábra).

BezaroPot2.jpg
10. ábra.

Korábbi számolásaink alapján az elektronok sebessége \setbox0\hbox{$v=(1/e B)\cdot (\mathrm{d} \varepsilon/\mathrm{d} y)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, az elektronsűrűség pedig \setbox0\hbox{$n=2eB/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így az áramra

\[I=j \mathrm{d} y = n e v \mathrm{d} y = \frac{2 e}{h} \mathrm{d} \varepsilon\]

adódik.

BezaroPot3.jpg
11. ábra.

Mivel \setbox0\hbox{$\mu_1-\mu_2=e V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén a felső él mentén \setbox0\hbox{$eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel magasabb energiáig vannak betöltve az állapotok mint az alsó él mentén (11. ábra), így a mintán folyó teljes áram

\[I=\frac{2 e}{h} e V.\]

Ennek megfelelően a Hall-ellenállás illetve a Hall-vezetőképesség:

\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{h}{2 e^2}, \ \ \  G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{2 e^2}{h}\]

A Hall-vezetőképességre kapott eredmény megegyezik egy egycsatornás tökéletes kvantumvezeték ellenállásával, azaz a vezetőképesség kvantummal. Fontos azonban megemlíteni, hogy nanovezetékekben a vezetőképesség-kvantálás csak a hullámhosszal összemérhető méreteknél és simán változó (visszaszórásmentes) potenciálban figyelhető meg, addig a kvantált Hall-effektus a jobbra és balra haladó állapotok térbeli szeparációjának köszönhetően egy makroszkopikus mintán megfigyelhető jelenség.

Több Landau-nívó, Zeeman-felhasadás


A korábbiakban a Landau-nívókat spin szerint degeneráltnak tekintettük. Természetesen mágneses térben az energiák spin szerinti Zeeman-felhasadását is figyelembe kell venni:

\[E=\hbar \omega_c \left(n+\frac{1}{2} \right) +U_\mathrm{bezaro} + g \mu_B B S_z,\]

ahol \setbox0\hbox{$S_z=\pm1/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektronspin z irányú komponense.

Félvezetőkben a kis effektív tömeg miatt tipikusan \setbox0\hbox{$\hbar \omega_c \gg g \mu_B B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (\setbox0\hbox{$\hbar \omega_c [K] \approx 20 B [T],\;\; g \mu_B B [K] \approx 0.3 \cdot B [T]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), de ha a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tér elegendően nagy akkor a Landau-szintek fel és le spinű elektronjai elkülönült energiaszinteket tudnak létrehozni, ezek a spinpolarizált Landau-szintek (12. ábra).

QHall splitting.png
12. ábra. Spinpolarizált Landau-szintek

Egyetlen teljesen betöltött spinpolarizált Landau-szint esetén a minta két szélén kialakuló élállapot értelemszerűen \setbox0\hbox{$G_H=e^2/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vezetőképességet ad, hiszen csak a spindegenerációból adódó kettes faktort kell elhagyni az állapotsűrűségből.

Ha a Fermi-energia alatt M db. spinpolarizált Landau-szint található, és a minta belsejében a Fermi-energia két Landau-szint közé esik, akkor a Hall-vezetőképesség:

\[G_H=\frac{e^2}{h} M,\]

azaz visszakaptuk a kísérletekben megfigyelt értékeket. A mérések szerint \setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relatív pontossága akár \setbox0\hbox{$\sim 10^{-7}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% is lehet, ami a visszaszórás hiányának tökéletességét mutatja. Fontos megjegyezni, hogy a minta egyik oldalán különböző Landau-szintek közötti átszórás nem változtat a vezetőképességen, hiszen csak az számít, hogy egy adott élállapotban elinduló elektron - még ha át is szóródik másik élállapotba - biztosan nem jut vissza a kiinduló elektródába.

A jelenség megértését segíti a 13. ábrán bemutatott klasszikus kép is: az élek mentén hiába szóródik szennyezőkön egy elektron, az 1. elektródából induló elektron végül mindig a 2. elektródába érkezik!

HallClassic.jpg
13. ábra. Élállapotok klasszikus ciklotronpályákkal szemléltetve

A Fermi-energia helyzete


A fenti megfontolások alapján pontosan kijön a Hall-ellenállás kvantáltsága, azonban a számolások azon a feltételezésen alapulnak, hogy a Fermi-energia két Landau-szint közé esik, ami nem feltétlenül igaz. Vizsgáljuk meg pontosabban, hogy mikor is esik a Fermi-energia két Landau-szint közé!

Ef.jpg
14. ábra. Felső panel: a Fermi energia változása 1/B függvényében. Általában a Fermi energia valamelyik tömbi, spinpolarizált Landau-szintnél található (vízszintes platók), és csak nagyon szűk mágneses tér tartományokban kerül \setbox0\hbox{$\varepsilon_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% két Landau-szint közé. Az alsó panel azt szemlélteti, hogy a Hall-vezetőképesség kvantált értékeit csak azokban a diszkrét (zöld) pontokban várjuk, ahol \setbox0\hbox{$\varepsilon_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% két Landau-szint között helyezkedik el.

1/B növelésével egymás után töltjük be a spinpolarizált Landau-szinteket. A Landau-szintek óriási degenerációja miatt a Fermi-energia szinte mindig az egyik Landau-szintre esik, kivéve amikor éppen egy teljesen betöltött és egy betöltetlen Landau-szint közötti élállapotokat töltünk fel. Az élállapotok száma azonban elhanyagolható a Landau-szintek belső állapotainak számához képest: egyszerű becslésként e két állapotszám úgy aránylik egymáshoz mint a minta makroszkopikus szélessége az élállapot nanométeres skálájú y irányú kiterjedéséhez. Ennek megfelelően csak nagyon szűk mágneses tér tartományokban várjuk, hogy a Fermi-energia két tömbi Landau-szint energiája között legyen (14. ábra, felső panel). Ha viszont a Fermi-energia egy tömbi Landau-szintnél helyezkedik el, akkor ezen a Landau-szinten keresztül már átszóródhatnak az elektronok a két él között (15. ábra), azaz a korábbi érvelésünk érvénytelen. Azaz azt a lehangoló eredményt kaptuk, hogy a Hall-vezetőképesség csak nagyon szűk, szinte pontszerű mágneses-tér tartományokban veszi fel a várt kvantált értékeket, ráadásul ezek a pontok jól illeszkednek a klasszikus Hall-vezetőképesség 1/B-vel lineárisan arányos változására (14. ábra alsó panel), azaz a kiterjedt Hall-platókra eddig nem kaptunk magyarázatot.

QHall E Fermi.png
15. ábra. Ha a Fermi-energia egy tömbi Landau-szintnél található, akkor a két oldalon haladó élállapotok között az eletronok át tudnak szóródni a tömbi Landau-szinten keresztül

Rendezetlenség szerepe


Az eddigi számolásokban csak az élállapotok kialakulásáért felelős bezáró potenciált vettük figyelembe. A kiterjedt kvantált Hall-platók megértéséhez a minta belsejében kialakuló fluktuáló potenciált is figyelembe kell venni. Tökéletlen minta (azaz véges fluktuáló potenciál) esetén a tömbi Landau-szintektől eltérő energiánál az elektronok nem csak az élállapot mentén mozoghatnak, hanem a minta belsejében a fluktuáló potenciál adott energiának megfelelő ekvipotenciális vonalai mentén is. Ha az energia kellőképpen eltér a tömbi Landau-szintektől, akkor az elektronok a fluktuáló potenciál hegyei vagy völgyei mentén kis kiterjedésű zárt pályákra kényszerülnek (16. ábra bal oldal), azaz a minta belsejében vannak a Landau-szintektől eltérő energiájú állapotok, de ezek lokalizált állapotok, a minta két széle közötti transzporthoz nem járulnak hozzá. A tömbi Landau-szinteknek megfelelő energiáknál az elektronok már találnak az ekvipotenciális vonalak mentén olyan trajektróriákat, melyek mentén átszóródhatnak a minta két széle között (16. ábra jobb oldal).

QHall equipotential.png
16. ábra. Elektronok mozgása ekvipotenciális felületek mentén

A fentiek gondolatmenet alapján megállapíthatjuk, hogy tökéletlen minta esetén a Landau-szintek körüli véges energiatartományban véges állapotsűrűséget tapasztalunk (17. ábra), azonban a Landau-szintektől távolabb ez a véges állapotsűrűség a tömbi tartomány potenciáljában lokalizált állapotoknak felel meg. Ennek megfelelően a Fermi-energia kiterjedt mágneses tér tartományokban eltér Landau-szintek energiájától, de ezeknél az energiáknál továbbra is igaz a két oldalon kialakuló élállapotok közötti átszórás tilalma, azaz valóban véges szélességű kvantált Hall-platókat várunk.

Szennyezesek.jpg
17. ábra. Szennyezők hatása az állapotsűrűségre: a Landau-szintek körüli szélesebb energiatartományban lokalizált elektronállapotok jelennek meg

A fentiek alapján látjuk, hogy a rendezetlenségnek kettős szerepe van a kvantált Hall-jelenség szempontjából. Egyrészt túl nagy szennyező-koncentráció, melynél a szórások közötti átlagos idő összemérhető a ciklotronmozgás periódusidejével (\setbox0\hbox{$B \sim 1/\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) lerombolja a kvantált Hall-jelenséget. Másrészt ha a minta túl tökéletes, akkor szintén nem várunk kiterjedt kvantált Hall-platókat, azaz a minta tökéletlensége teszi lehetővé, hogy \setbox0\hbox{$R_H=h/e^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% legyen a létező legpontosabb ellenállás standard. Ez utóbbi egyértelműen látszik a tört számú kvantált Hall-effektust bemutató kísérletekben.2,3 Ezekhez a mérésekhez nagyon jó minőségű (nagy szabad úthosszal rendelkező) kétdimenziós elektrongáz rendszerek kellettek (epitaxiálisan növesztett GaAs/AlGaAs 2DEG + delta dópolás + nagyon alacsony hőmérséklet), és ennek megfelelően az egész számú kvantált Hall-platók sokkal csúnyábbak, kevésbé kiterjedtek mint Klaus von Klitzing IQHE mérései.1

Mach-Zehnder interferométer kvantált Hall-élállapotokkal


A kvantált Hall-effektus - azon túl, hogy önmagában is érdekes jelenség - a nanofizika eszköztárát is fontos kísérleti technikával bővítette. Az kvantált Hall-élállapotok a visszaszórás hiánya miatt kifejezetten jól használhatók arra, hogy kvantum elektronikai kísérleteket végezzünk. Az alábbiakban a legalapvetőbb példát mutatjuk be: egy Mach Zehnder interferométer kialakítását élállapotokkal.7

QHall interferometer.png
18. ábra. Mach-Zehnder interferométer kvantált Hall-élállapotokkal

Az optikában jól ismert Mach-Zehnder interferométer elvét elektronokkal a 18. ábrán szemléltetett módon, pár mikrométer méretű áramkörben lehet megvalósítani. Az elektronok egy 2DEG-ben, a szürkével jelzett tartományokban mozoghatnak. Nagy mágneses térrel az elektronokot élállapotokra kényszerítjük, a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% teret úgy állítjuk be, hogy csak egy Landau-szint legyen betöltve. Az S elektródára feszültséget kapcsolunk, a D1 elektródán a föld felé folyó áramot mérünk, a D2 elektródát leföldeljük. Az S elektródából induló élállapotban az elektronok eljutnak a QPC1 kvantum-pontkontaktushoz, mely félig áteresztő tükérként van beállítva, azaz a nyaláb felét visszaveri, a másik felét átengedi (\setbox0\hbox{$\mathcal{T}=0.5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). A két parciális elektronhullám a QPC2 kvantum-pontkontaktusnál találkozik, mely mindkét nyalábot \setbox0\hbox{$\mathcal{T}=0.5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valószínűséggel a D1 elektróda felé haladó élállapotba szórja, így a D1-nél mért áramban láthatjuk a két nyaláb közti interferenciát. A két nyaláb közötti fázisviszony kétféleképpen is hangolható: egyrészt a G kapuelektródára helyezett feszültséggel hangolhatjuk az alsó ágon haladó elektronok trajektóriájának hosszát, másrészt a mágneses tér enyhe változtatásával hangolhatjuk a két nyaláb közti Aharonov-Bohm fázisból adódó fáziskülönbséget. Mind a G-re adott feszültség, mind a mágneses tér változtatásával közel 100%-os kontrasztú oszcilláció látható a D1 elektróda áramában.7

Hivatkozások

Fent hivatkozott szakcikkek

[1] K. v. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper: New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance, Phys. Rev. Lett. 45 p494–497 (1980)

[2] D. C. Tsui, H. L. Stormer, A. C. Gossard: Two-Dimensional Magnetotransport in the Extreme Quantum Limit, Phys. Rev. Lett. 48 p1559–1562 (1982)

[3] Horst L. Stormer: Nobel Lecture: The fractional quantum Hall effect, Rev. Mod. Phys. 71 p875–889 (1999)

[4] R. B. Laughlin: Anomalous Quantum Hall Effect: An Incompressible Quantum Fluid with Fractionally Charged Excitations, Phys. Rev. Lett. 50 p1395–1398 (1983)

[5] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, A. A. Firsov: Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene, Nature 438 p197-200 (2005)

[6] K. S. Novoselov, Z. Jiang, Y. Zhang, S. V. Morozov, H. L. Stormer, U. Zeitler, J. C. Maan, G. S. Boebinger, P. Kim, A. K. Geim: Room-Temperature Quantum Hall Effect in Graphene, Science 315 p. 1379 (2007)

[7] Yang Ji, Yunchul Chung, D. Sprinzak, M. Heiblum, D. Mahalu, Hadas Shtrikman: An electronic Mach–Zehnder interferometer, Nature 422 p415-418 (2003)

Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek

Ajánlott kurzusok