Kvantummechanikai bevezető példák - Fekete test fotonáramsűrűsége forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Kvantummechanikai bevezető]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Kvantummechanikai bevezető
| rövid       = Kvantummechanikai bevezető
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg, hogy egy $T$ hőmérséklet fekete test milyen foton-áramsűrűséggel sugároz!
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A Planck-féle sugárzási törvényben különítse el a foton energiáját.}}{{Végeredmény|content=$$N = 2{,}404 \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>A ''Planck''-féle sugárzási törvény szerint a fekete test által a teljes térszögbe a $[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott teljesítményt átírjuk, hogy megjelenjen a foton $h\nu$ energiája:
$$ \mathcal{E}_\nu\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{h\nu^3}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu
    = h\nu \cdot \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu, $$
ami alapján bevezetjük a teljes térszögbe a $[\nu, \nu+\mathrm{d}\nu]$ frekvenciaintervallumban felületegységenként kisugárzott fotonszámot:
$$ n(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi}{c^2} \frac{\nu^2}{e^{\textstyle \frac{h\nu}{kT}}-1}\,\mathrm{d}\nu. $$

A fotonok teljes száma felületegységenként és időegységenként $x=\frac{h\nu}{kT}$ változócserével:
$$ N = \int_0^\infty n(\nu)\,\mathrm{d}\nu
    = \frac{8\pi}{c^2}\left(\frac{kT}{h}\right)^3 \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x-1}\,\mathrm{d}x, $$
ahol az integrál kifejezhető a [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html ''Riemann''-féle $\zeta$-függvénnyel], értéke $\Gamma(3)\zeta(3)\approx 2{,}404$.

Például $T=2100\,\mathrm{K}$-en
$$ N = 5{,}64\cdot 10^{25}\,\mathrm{\frac{1}{s\,m^2}}, $$
amit értelmezhetünk $1\,\mathrm{m^2}$-en $1\,\mathrm{s}$ alatt létrejövő $c \cdot 1\,\mathrm{s\,m^2} = 2{,}998 \cdot 10^8\,\mathrm{m^3}$ térfogatban egyenletesen eloszló kb.  $100\,\mathrm{mol}$ fotonként.
</wlatex>
</noinclude>