Erőtan II. - 4.3 forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]
[[Kategória:Mechanika - Erőtan II.]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Mechanika - Erőtan II.
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Egy vasúti kocsiban $l$ hosszúságú fonálra pontszerű $m$ tömeget felfüggesztve ingát készítenek. A vasúti kocsi $t=0$ időpontban vízszintes pályán $a_0$ gyorsulással kezd mozogni. $l=1\,\mathrm{m}$,  $m=1\,\mathrm{kg}$, $a_{0}=0,5 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$.
#: a) Milyennek észleli az $m$ tömegű test mozgását a vasúti kocsiban levő megfigyelő?
#: b) Külön ábrán jelölje be az $m$ tömegű testre - a gyorsuló kocsi koordinátarendszerében - ható erőket, és írja fel a test mozgásegyenletét!
#: c) Határozza meg a test mozgását leíró $\varphi(t)$ függvényt! (A $\varphi(t)$ függvény jellemző mennyiségeit számszerűen adja meg!)
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= a) Az inga lengeni kezd. <br> b) $$\ddot{\varphi}+\omega^{2}\sin(\varphi-\varphi_{0})=0\qquad\qquad \omega^{2}=\frac{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}{l}$$ c) $$\varphi(t)=\varphi_{0}\left(1-\cos(\omega t)\right)$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>#: a) A gyorsítás hatására a kocsihoz rögzített vonatkoztatási rendszerben egy vízszintes irányú, $F_{t}=ma_{0}$ nagyságú tehetetlenségi erő is hat az ingára. Így a kezdeti időpillanatban az eredő erő nem zérus, az inga nincs egyensúlyban, tehát elkezd lengeni.
#: b) A test pozícióját egyértelműen meghatározza a $\varphi(t)$ szög, melyet a függőlegestől mérünk. A gravitációs erőt és a tehetlenségi erőt felbontottuk egy kötéllel párhuzamos és egy arra merőleges komponensre. Az erők a kötél irányában kiegyenlítik egymást. Arra merőleges irányban $$ma_{t}(t)=-mg\sin\alpha+ma_{0}\cos\alpha\,.$$ ahol a tangenciális gyorsulás $a_{t}=l\ddot{\varphi}$ szerint függ össze a szöggyorsulásal. A mozgásegyenlet jobboldalán $\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}$-t kiemelve $$l\ddot{\varphi}=-\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}\left(\frac{g}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}\sin\varphi-\frac{a_{0}}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}\cos\varphi\right)\,.$$ Vezessük be a $\varphi_{0}$ egyensúlyi kitérést úgy, hogy $$\sin\varphi_{0}=\frac{a_{0}}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}\qquad\qquad \cos\varphi_{0}=\frac{g}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}\,.$$ Ekkor a mozgásegyenlet $$\ddot{\varphi}+\omega^{2}\sin(\varphi-\varphi_{0})=0\qquad\qquad \omega^{2}=\frac{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}{l}$$ alakban írható. Ezt a differenciál egyenletet kellene megoldani a $\varphi(0)=0$ és $\dot{\varphi}(0)=0$ kezdeti feltételekkel.
#: c) A $\varphi(t)$ mennyiséget a $$\ddot{\varphi}+\omega^{2}\sin(\varphi-\varphi_{0})=0$$ differenciálegyenlet határozza meg, ahol $$\varphi_{0}=2,86^{\circ}\qquad\qquad\omega=\sqrt{\frac{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}{l}}=3,16\frac{1}{\,\mathrm{s}}\,.$$ A differenciálegyenletet nem lehet általánosan megoldani csak kis kitérésekre. A lengés során $0<\varphi(t)<2\varphi_{0}$, ezért kis kitérésű lengésekről akkor beszélhetünk, ha $\varphi_{0}$ is kicsi. Ez akkor, teljesül, ha $a_{0}\ll g$. Ebben a határesetben $\sin(\varphi-\varphi_{0})\approx \varphi-\varphi_{0}$, vagyis a differenciálegyenlet $$\ddot{\varphi}+\omega^{2}(\varphi-\varphi_{0})=0$$ szerint írható. A $\Delta\varphi(t)=\varphi(t)-\varphi_{0}$-ra vonatkozó $$\Delta\ddot{\varphi}+\omega^{2}\Delta\varphi=0$$ differenciálegyenlet két független megoldása $\sin(\omega t)$ és $\cos(\omega t)$, így $$\varphi(t)=\varphi_{0}+A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\,,$$ melyben az $A$ és $B$ paramétereket a kezdeti feltételek segítségével illeszthetjük. $$0=\varphi(0)=\varphi_{0}+B\qquad\Rightarrow\qquad B=-\varphi_{0}$$ $$0=\dot{\varphi}(0)=A\omega \qquad\Rightarrow\qquad A=0$$ Tehát $$\varphi(t)=\varphi_{0}\left(1-\cos(\omega t)\right)\,.$$[[Kép:Kfgy1_05_4_3m.svg |none|250px]]
</wlatex>
</noinclude>