Magnetosztatika példák - Koaxiális vezető mágneses tere forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Magnetosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Magnetosztatika - Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény|Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Az ábrán látható koaxiális vezetőben $I$ áram folyik. A belső éren ($a$-n belül) befelé, a külső éren ($b$ és $c$ között) kifelé. Határozzuk meg a mágneses teret a tengelytől mért $r$ távolság függvényében.  </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= A belső hengerben ($r<a$) a térerősség helyfüggése: $$H=\dfrac{I}{2\pi a^2} r$$ A két henger között ($a<r<b$):$$H=\dfrac{I}{2\pi r}$$ A térerősség a külső hengerben ($b<r<c$): $$H=\dfrac{I}{2\pi r}\dfrac{c^2-r^2}{c^2-b^2}$$ A két hengeren kívüli térben ($c<r$) a térerősség zérus}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
Mivel a rendszer teljesen hengerszimmetrikus, könnyen alkalmazhatjuk az Amper-féle gerjesztési törvényt. 

$$I=\oint \vec{H}\vec{dl}$$

Vegyünk fel egy $r$ sugarú gyűrűt, mint zárt görbét, melynek tengelye egybeesik a hengerek tengelyével. A rendszer hengerszimmetrikus, így joggal feltételezzük, hogy a $H$ térerősség nagysága a gyűrű minden pontján azonos nagyságú, iránya pedig mindenütt érintő irányú. A vektorok skalárszorzatának integrálja így a következőképp egyszerűsíthető:

$$I_O=2r\pi H$$

$$H=\dfrac{I_O}{2\pi r}$$

Ahol $I_O$ a gyűrű által határolt területen átfolyó áram erőssége. Ha $r<a$, a gyűrűn átfolyó áram erőssége arányos az $a$ sugarú hengerben folyó $I$ árammal, az arányossági tényező pedig a gyűrű területének és a henger keresztmetszetének hányadosa:

$$I_O=I\dfrac{r^2}{a^2}$$

Tehát a belső hengerben a térerősség helyfüggése:

$$H=\dfrac{I}{2\pi a^2} r$$

A két henger között ($a<r<b$) az Amper-féle gerjesztési törvény a fentiekhez hasonlóan alkalmazható, ám a zárt gyűrűn átfolyó összes áram megegyezik a belső hengerben folyó $I$ árammal, tehát a mágneses tér helyfüggése:

$$H=\dfrac{I}{2\pi r}$$

Tovább növelve az Amper-törvény zárt görbéjének sugarát ($b<r<c$) a zárt görbe által határolt területen átfolyó összes áram erőssége csökken, hiszen a külső hengerben folyó, belsővel ellentétes irányú áram egy részét is bezárja. A területek arányainak ismeretében meghatározható a zárt görbe által határolt áramok nagysága:

$$I_O=I-I\dfrac{r^2-b^2}{c^2-b^2}=I \left( \dfrac{c^2-r^2}{c^2-b^2} \right)$$

A térerősség a külső hengerben tehát:

$$H=\dfrac{I}{2\pi r}\dfrac{c^2-r^2}{c^2-b^2}$$

A két hengeren kívüli térben ($c<r$) a térerősség zérus, hiszen az $r>c$ sugarú zárt görbe által határolt felületen egyaránt átfolyik a belső henger $I$ árama, és a külső henger $-I$ erősségű árama. Ezek összege pedig nulla: $I_O=I-I$

</wlatex>
</noinclude>