A kényszerrezgés vizsgálata 2014-es állapot forrásának megtekintése

<wlatex>

[[Kategória:Mechanika]]
<!--[[Kategória:Elektromosságtan]]--> 
<!--[[Kategória:Hőtan]]-->
<!--[[Kategória:Kvantummechanika]]-->
<!--[[Kategória:Statisztikus fizika]]-->
<!--[[Kategória:Nanofizika]]-->
<!--[[Kategória:Optika]]-->
<!--[[Kategória:Szilárdtestfizika]]-->
<!--[[Kategória:Mag és részecskefizika]]-->       
<!--[[Kategória:Informatika]]--> 
[[Kategória:Laborgyakorlat]]
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 1.]]-->
[[Kategória:Fizika laboratórium 2.]]
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 3.]]-->
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 4.]]-->
[[Kategória:Szerkesztő:Vankó]]

A harmonikus rezgés alapvető fizikai jelenség. Vibrációk, oszcillációk harmonikus rezgéssel modellezhetők, ha az amplitúdók elég kicsinyek. A harmonikus mozgás differenciálegyenlete nem csupán a klasszikus fizikában (mechanika, villamosságtan), de a kvantumfizikában, a szilárdtestfizikában és az optikában is gyakran előfordul.


__TOC__

==Elméleti összefoglaló==

===Csillapítatlan rezgések===

Ha egy $m$ tömegű anyagi pontra a kitéréssel arányos, rugalmas erő hat, akkor a mozgásegyenlet
$$ma=-Dx$$
alakú, ahol $D$ a rugóállandó, $x$ a tömegpont kitérése az egyensúlyi helyzetből, $m$ a tömeg, és $a$ a gyorsulás. 
A mozgásegyenlet megoldása
$$x(t)=A\sin(\omega_0 t+\alpha)$$
ahol $A$ a (kitérési) amplitúdó, $\alpha$ a $t=0$ időpillanathoz tartozó fázis (mindkettőt a kezdeti feltételek határozzák meg),
$$\omega_0=\sqrt{\frac{D}{m}}$$
a csillapítatlan rezgő rendszer körfrekvenciája. ($\omega_0=2\pi f_0$, ahol $f_0$ a megfelelő frekvencia.)

A harmonikus rezgőmozgás sebessége
$$v(t)=\frac{\text{d} x}{\text{d} t}=A\omega_0\cos(\omega_0 t+\alpha)$$
ahol $A\omega_0$ a maximális sebesség, az ún. sebességamplitúdó.

===Csillapodó rezgések===

A csillapodást okozó erők gyakran (jó közelítéssel) a sebességgel arányosak: $F_{cs}=-kv$, ahol $k$ a csillapítás erősségére jellemző mennyiség. Ekkor a tömegpont mozgásegyenlete:
$$ma=-Dx-kv$$
ami a $\beta=k/(2m)$ csillapítási tényező bevezetésével és $\omega_0$ definíciójának felhasználásával az alábbi alakra hozható:
$$\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=0$$
A differenciálegyenlet megoldása $\omega_0^2\geq\beta^2$ esetén időben csökkenő amplitúdójú lengéseket eredményez: 
$$x(t)=Ae^{-\beta t}\sin(\omega' t+\alpha)$$
A rezgés körfrekvenciája
$$\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$$
Az amplitúdóváltozás jellemzésére különböző mennyiségeket használnak. A csillapodási hányados két, azonos irányban egymás után következő amplitúdó hányadosa
$$K=\frac{x_n}{x_{n+1} }=e^{\beta T}$$
ahol $T=2\pi/\omega'$. Használatos még a K csillapodási hányados logaritmusa, az ún. logaritmikus dekrementum is:
$$\Lambda=\ln K=\beta T$$

===Kényszerrezgések===

Egy $m$ tömegre pl. motor és excenter segítségével időben periodikusan változó erőt alkalmazva egy átmeneti időszak után időben állandósult rezgés alakul ki, melynek frekvenciája megegyezik a kényszerítő erő frekvenciájával, míg amplitúdója függ az erőtől, a rugóállandótól, a tömegtől, a csillapítástól valamint a gerjesztő frekvenciától. Az anyagi pont mozgásegyenlete ekkor:
$$ma=-Dx-kv+F_0\sin(\omega t)$$
A korábban bevezetett jelöléseket alkalmazva másodrendű lineáris, inhomogén differenciálegyenletet kapunk:
$$\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=\frac{F_0}{m}\sin(\omega t)$$
ahol $F_0$ a kényszererő maximális értéke. Az egyenlet megoldása:
$$x(t)=Ae^{-\beta t}\sin(\omega' t+\alpha)+\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2} }\sin(\omega t+\varphi)$$
melynek második tagja írja le az állandósult állapotot. A $\varphi$ fázisállandó nem az időmérés kezdetétől függ, hanem a kényszerítő erő fázisától való eltérés. Az állandósult állapot amplitúdójának maximuma van az 
$$\omega_{max}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}$$
frekvenciánál, míg a fázisállandó tangense:
$$\text{tg}\varphi=\frac{2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$$
A kényszerrezgés energiaviszonyainak jellemezésére az egy periódus alatt disszipált energia $\langle W\rangle$ és a rendszerben tárolt átlagos energia $\langle P\rangle$ hányadosával arányos ''jósági tényező''-t használjuk
$$Q=2\pi\frac{\langle W\rangle}{T\langle P\rangle}=\frac{\omega_0}{2\beta}$$

==A kísérleti berendezés leírása==

{{fig2|Kenyszerrezges.png|fig:1|1. ábra}}

A kísérleti berendezés az [[#fig:1|1. ábrán]] látható. Az alul elhelyezkedő elektronikai egység hátsó lapján található a kényszererőt létrehozó excenter. A kényszererő amplitúdója az amplitúdórúd helyzetének változtatásával szabályozható, ami a kényszert kifejtő zsinór rögzítési pontja és az excenter középpontja közötti távolságot befolyásolja [[#fig:2|(2. ábra)]]. A kényszert továbbító zsinór a tartóoszlop tetején található két csiga vájatain áthaladva egy hurokkal kapcsolódik a vizsgálandó rugó egyik végéhez. A másik véghez a skálával ellátott mérőrúd és a hozzá erősített ún. csillapító rúd csatlakozik. E két rúd alkotja a rezgőmozgást végző „alaptömeget”, melynek értéke 50 g.

A mérőkészlethez tartozik két 50 g tömegű rézkorong is. A korongokat a mérőrudat és csillapitórudat összekötő csavarmenetre lehet felerősíteni. A tartóoszlop középmagasságánál látható a rúdvezető, melyben optikai érzékelők vannak. A mérőrudat a rúdvezető téglalap alakú nyílásán kell átvezetni.

Helyes beállítás esetén a rezgés csillapodása – melyet a légellenállás ill. a berendezés egyes elemei között fellépő súrlódás okoz – igen kicsi. Ezért a csillapítás változtatása (növelése) céljából a tartórúdra egy olyan mágnespárt szerelhetünk fel, melynek pofái között a távolság változtatható. Ezen mágnespofák között mozog az alumíniumból készült csillapítórúd. A mágneses tér hatására a mozgó fémrúdban örvényáramok keletkeznek, melyek Joule-hőjének disszipációja okozza a rendszer csillapodását. A mágnespofák közötti távolság csökkentésével a mágneses térerősség növelhető, azaz a disszipáció, vagyis a csillapítás fokozható.

===Beállítás===

*Ha a készülék jól van beállítva, a mérőrúd úgy függ, hogy egyik oldala sem ér hozzá a rúdvezető nyílásának falához ([[#fig:3|3. ábra]]). A nem jó a beállítás a 3. ábrán látható „b” vagy „c” esetben fordul elő. A „b” esetet az elektronika doboz változtatható magasságú lábainak megfelelő állításával korrigálhatjuk (vízszintezés). A „c” eset a mérőrúd felfüggesztésével (elcsavarásával)javítható.
*A fázis és amplitúdó pontos méréséhez úgy kell felfüggeszteni a mérőrudat, hogy egyensúlyi helyzetben  középvonala egybeessen a rúdvezető optikai érzékelőjével. Ennek beállításához:
**Kapcsolja be az elektronika doboz hátoldalán levő kapcsolót. Figyelje a rúdvezető LED-et. Ha a mérőrúd középvonala (8,5 cm) feljebb van, mint a rúdvezető felső éle, akkor a LED kialszik. Ha a középvonal lejjebb került, akkor a LED kigyullad.
**Mozgassa úgy a mérőrudat fel és le, hogy a középvonala áthaladjon a rúdvezetőn. Közben figyelje a FÁZIS kijelzést. Amikor a mérőrúd középvonala lefelé halad keresztül a rúdvezetőn, egy LED villog a fázisskálán. Annyira fordítsa el a kényszerkereket, hogy a fázist jelző LED éppen 0° fázishelyzetet mutasson. 
**Most pontosítsa a zsinór hosszát. Ez a zsinóron található plasztikcsattal állítható. Finom állítások a tartóoszlop tetején levő csavarral végezhetők. A zsinórhossz akkor megfelelő, ha egészen kicsi oszcillációknál a fázis LED ki-be kapcsol.

Az elektronika doboz a [[#fig:4|4. ábrán]] látható. Az elülső lapon található a DRIVE kapcsoló. Ezzel indítható a motor, mely a kényszer kereket forgatja. 
A FREQUENCY gombbal változtatható a kényszer frekvenciája. Óramutató járásával megegyezően forgatva növeli a frekvenciát.
A FUNCTION kapcsoló határozza meg azt, hogy az alábbi három változóból melyiket írja ki a digitális kijelző. (A kijelző jobb oldalán egy LED mutatja, hogy melyik változó értéket olvashatjuk le.)
*FREQ. – A kényszerkerék frekvenciája (Hz)
*AMPL. – A mérőrúd csúcstól-csúcsig amplitúdója (ez az amplitúdó kétszerese) (mm)
*PERIOD – A mérőrúd egy teljes rezgésének periódusideje (s).

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| {{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_2.png|fig:2|2. ábra}}
| {{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_3.png|fig:3|3. ábra}}
| {{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_4.png|fig:4|4. ábra}}
|-
|}


==Mérési feladatok==

[[A méréshez rendelkezésre álló eszközök: A kényszerrezgés vizsgálata|A méréshez rendelkezésre álló eszközök]]

*''A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.''

'''1.''' A rugóállandó mérése

Állítsa be a zsinór hosszát úgy, hogy a mérőrúd 17 cm-es jele a rúdvezető alsó szélével egy vonalba essék! Erősítse az egyik 50 g-os rézsúlyt a mérőrúd és a csillapítórúd közé! Mérje le a rugó sztatikus megnyúlását! Ezután helyezze fel a második rézsúlyt is, és mérje meg az újabb megnyúlást! Számítsa ki a rugó rugóállandóját!

'''2.''' Csillapítatlan rendszer lengésideje

Szabályozza be a készüléket!
*''Nagyon fontos, hogy a mérőrúd ne érjen a rúdvezető egyik falához se (lásd az [[#Beállítás|előző pontban]])!''
Ehhez a méréshez szerelje le a csillapító mágnespofákat! A funkciókapcsolót állítsa periódusidőmérésre (PERIOD). Húzza a mérőrudat kb. 5 cm-rel az egyensúlyi helyzete alá, és engedje el! A digitális kijelző ekkor a rezgés periódusidejét (s) mutatja. A mérést üres mérőrúddal, majd 50 és 100 g-os terhelésekkel is végezze el!
*''Az eredményeket foglalja táblázatba és vesse össze az elmélet alapján kiszámolt értékekkel!''

'''3.''' Kényszerrezgés amplitúdójának és sebességamplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében

A méréseket két különböző csillapítás esetén, mindkét esetben kétféle tömeggel (mérőrúd + 50 g, mérőrúd + 100 g) végezze el! Szerelje vissza a csillapító mágnespofákat! A kis csillapításhoz a csillapító mágnespofákat egymástól a lehető legtávolabb állítsa be! A nagy csillapításhoz tekerje a mágnespofákat a lehető legközelebb, de csak annyira, hogy ne érjenek hozzá a csillapítórúdhoz! Ekkor mérje meg és jegyezze fel a mágnespofák távolságát!

Gondosan állítsa be a mérőrúd helyzetét úgy, hogy már egészen kis kitéréseknél villogjon a digitális kijelző ([[#Beállítás|beállítás]])! A funkciókapcsolót állítsa frekvenciamérésre (FREQ.) és a DRIVE kapcsolóval indítsa el a kényszerrezgést! A frekvenciaszabályozó gombbal lassan (fokozatosan) növelje a frekvenciát, és időről-időre váltson át az amplitúdómérésre (AMPL.)!
*''Itt a kijelző mm-ben megadja a csúcstól-csúcsig amplitúdót – ez az amplitúdó kétszerese.''
*''Figyelje eközben a fázisállandót jelző LED értékét is! Amikor a kényszerítő frekvencia megegyezik az $f_0$ sajátfrekvenciával, a fázisszög 90°.''
Keresse meg az $f_{max}$ rezonanciafrekvenciát, ahol az amplitúdó maximális!
*''A rezonanciafrekvencia – különösen nagy csillapítás esetében – eltér a sajátfrekvenciától.''
*''Amennyiben a rezgések amplitúdója túl nagy vagy túl kicsi lenne, úgy kapcsolja ki a készüléket és csökkentse, illetve növelje a kényszererő amplitúdóját, majd ellenőrizze a kitérést a rezonanciafrekvenciánál!''

Amennyiben mindent rendben talál, vegye fel táblázatosan a rezonanciafrekvenciánál 1 Hz-cel kisebb és 1 Hz-cel nagyobb frekvenciák közötti intervallumban 0,1 Hz-enként (és a rezonancia frekvencia közelében ennél sűrűbben is) a kitérési amplitúdókat! Ábrázolja az azonos tömeggel, de különböző csillapítással felvett görbéket közös diagrammon! Adja meg minden esetben $f_{max}$ értékét!

A korábban megmért görbék valamennyi pontjánál (a kitérési amplitúdó és frekvencia ismeretében) számítsa ki a sebeségamplitúdó $(A\cdot 2\pi f=A\omega)$ értékeket! Foglalja táblázatba és ábrázolja diagrammon a sebességamplitúdó – frekvencia görbéket!
*''Az azonos tömeggel, de különböző csillapítással felvett görbéket most is közös diagrammon ábrázolja!

'''4.''' Csillapítási tényező és jósági tényező meghatározása

A csillapítási tényező kísérleti meghatározásának egyik lehetséges módszere a csillapodási hányados mérésén alapul. Ekkor egymás utáni lengések amplitúdócsökkenéseit mérjük. Ennek észlelése akkor pontos, ha a lengő rendszer periódusideje eléggé nagy (kb. 3-10 s). Az alkalmazott rugónál a lengésidő rövidebb, emiatt egy másik módszer alkalmazása előnyösebb. A csillapítási- és jósági tényezők a sebességamplitúdó frekvenciafüggéséből meghatározhatók. A sebességamplitúdó kifejezése:
$$A\omega=\frac{F\omega}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}$$
melynek maximuma – ellentétben a kitérési amplitúdó maximumával – éppen $\omega_0$-nál van, ahol 
$$A\omega_0=\frac{F_0}{2m\beta}$$
A sebességamplitúdó az $f_1$ és $f_2$ frekvenciáknál ($f_1<f_0<f_2$), illetve az ezeknek megfelelő $\omega_1$ és $\omega_2$ ($\omega_1<\omega_0<\omega_2$) körfrekvenciáknál lesz a maximális sebességamlitúdó fele. Behelyettesítve a sebességamplitúdó képletébe $\omega_1$-nél az
$$\frac{F_0}{4m\beta}=\frac{F_0\omega_1}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega_1^2)^2+4\beta^2\omega_1^2}}$$
$\omega_2$-nél az
$$\frac{F_0}{4m\beta}=\frac{F_0\omega_2}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega_2^2)^2+4\beta^2\omega_2^2}}$$
egyenleteket kapjuk. Négyzetre emelés és átrendezés után
$$(\omega_0^2-\omega_1^2)=\sqrt{12}\beta\omega_1$$
illetve
$$(\omega_2^2-\omega_0^2)=\sqrt{12}\beta\omega_2$$
adódik. Ebből a két egyenletet összeadva, és egyszerűsítve a $\beta$ csillapítási tényező:
$$\beta=\frac{\omega_2-\omega_1}{\sqrt{12}}=\frac{2\pi(f_2-f_1)}{\sqrt{12}}$$
A két egyenlet elosztásából viszont $\omega_0=\sqrt{\omega_1\omega_2}$, és így $f_0=\sqrt{f_1f_2}$ következik, amit felhasználva a $Q$ jósági tényező:
$$Q=\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{\sqrt{3f_1f_2}}{f_2-f_1}$$

Illesszen a 3. pontban mért sebességamplitúdó adatokra a sebességamplitúdó – frekvencia függvénynek megfelelő görbét és határozza meg a maximális sebességamplitúdó értékét, majd állapítsa meg azt a két frekvenciát melyeknél sebességamplitúdó a maximális érték fele! Számítsa ki a fenti képletek segítségével a csillapítási és jósági tényezőket!
*''Az illesztett görbe paraméterei között szerepel a $\beta$ csillapítási tényező is, így ezt az alapján közvetlenül is meghatározhatja. $\omega_0$ szintén illesztési paraméter, így 

'''5.''' Lebegés vizsgálata

{{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_5.png|fig:5|5. ábra}}

Két, kis mértékben különböző frekvenciájú, szinuszhullám szuperpozíciójakor „lebegés” alakul ki [[#fig:5|(5. ábra)]]. Ha $t_A$ időpontban a rezgések éppen fázisban vannak, akkor a hullámok összeadódnak és az eredő rezgés maximális amplitúdójú lesz. Egy későbbi $t_B$ időpontban azonban a frekvencia különbség miatt a rezgések ellentétes fázisba kerülnek, és egymás hatását csökkentve minimális amplitúdót eredményeznek. Az amplitúdó változások burkológörbéje szintén szinuszos. A burkológörbe frekvenciája $f_L=\left(f_1-f_2\right)/2$, ahol $f_1$ és $f_2$ a két összetevő rezgés frekvenciája.

A kényszerrezgés bekapcsolásakor az állandósult tag mellett egy darabig megfigyelhető a csillapított rendszer idővel elhaló saját rezgése is. A differenciálegyenlet megoldása tartalmazza a bekapcsolás után kialakuló mindkét frekvenciát. A tranziens rezgés körfrekvenciája $\omega’$, az állandósulté pedig $\omega$. Lebegés akkor figyelhető meg, ha a kényszererő $\omega$ körfrekvenciája $\omega’$ közelében van, és a csillapítás elég kicsi. Amint a tranziens elhal, a lebegés is megszűnik. 

Szerelje le újra a csillapító mágnespofákat és állítsa be pontosan a mérőrúd helyzetét. Határozza meg a rendszer sajátfrekvenciáját! (A 2. méréshez hasonlóan használja a készülék kijelzőjén a PERIOD állást! $f_0=1/T$) Állítsa a kényszerkeréken az amplitúdót 2 mm-re! Kapcsolja be a kényszermozgást és szabályozza annak frekvenciáját úgy, hogy 0,1 Hz-cel legyen alacsonyabb, mint $f_0$! Jegyezze fel mindét frekvencia értékét és kapcsolja ki a kényszert! Várjon, amíg a mérőrúd megáll! Állítsa a funkciókapcsolót AMPL. állásba. 

Helyezze a mérőrúd alá az ultrahangos érzékelőt! Indítsa el a számítógépen a ''Logger Lite'' programot. A program felismeri a rákapcsolt szenzort. Végezze el a következő beállításokat: ''Experiment $\to$ Data Collection $\to$ Length'': 120 s; ''Options $\to$ Graph Options $\to$ Axes Options $\to$ Scaling: Autoscale'' (mindkét tengelyen).

Indítsa el az adatgyűjtést, majd kapcsolja be a kényszerrezgést! A lebegés megszűntéig mérjen! Utána a mérési adatok a ''File $\to$ Export as'' paranccsal menthetők. 

Ábrázolja az amplitúdót az idő függvényében! Határozza meg a burkoló szinuszgörbe periódusidejét és frekvenciáját!
*''Vesse össze az elmélet alapján várható értékekkel!''
*''Akkor kap szép lebegést, ha kicsi a csillapítás (leszedett mágnespofák, jól beállított mérőrúd (nem súrlódik).''

</wlatex>