Mozgó töltések és áramok által keltett tér forrásának megtekintése

<wlatex>

__TOC__


== Az elektromos áram mágneses tere ==

=== A Biot-Savart törvény ===

A válasszal, hogy mi is az indukciós tér forrása, még adósak vagyunk. Néhány egyszerű kísérlettel könnyű bemutatni, hogy az elektromos áram mágneses teret kelt maga körül. Egy kis vasreszelék vagy egy iránytű alkalmazásával szemléletesen láthatóvá lehet tenni egy áramjárta vezető mágneses terét.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Áram_mágneses_tere_2.jpg|közép|200px|]]
| [[Fájl:Áram_mágneses_tere_6.jpg|közép|200px|]]
| [[Fájl:Áram_mágneses_tere_4.jpg|közép|200px|]]

|-
| align="center"|1.1.1 a ábra
| align="center"|1.1.1 b ábra
| align="center"|1.1.1 c ábra

|}

A jelenség vizsgálatához tekintsük az elképzelhető legegyszerűbb modellt, vagyis vizsgáljuk meg egy igen kisméretű, áramjárta vezetékdarab által keltett mágneses indukciós teret (1.2 ábra) és adjuk meg ennek matematikai alakját!

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Biot_Savart_1.JPG|közép|300px|1.1 ábra]]
|-
| align="center"|1.1.2 ábra
|}

A mérések azt mutatják, hogy a $d\vec s$ áramjárta kis vezetékdarab indukciós terét az $\vec r$ helyvektorral megadott pontban a '''Biot-Savart törvény''' segítségével adhatjuk meg:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[d\vec B = \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{d\vec s \times \vec n}{r^2} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.1) </span>
|}

ahol is $\vec n$ az $\vec r$-el párhuzamos egységvektor és $\mu_o$ a vákuum mágneses permeabilitása, melynek értéke: $4\pi10^{-7}$ Tm/A.

Jó példa a Biot-Savart törvény egyszerű alkalmazására a körvezető terének meghatározása a szimmetriatengelyen. (Természetesen jó példa a végtelen hosszú, áramjárta vezető is, de ezt a problémát majd az előadáson vagy a gyakorlaton oldjuk meg.) Ehhez tekintsük az ábrán látható a sugarú körvezetőt, melynek indukciós terét a szimmetriatengelyen a kör középpontjától x távolságban szeretnénk meghatározni.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Körvezető_1.JPG|közép|400px|1.1 ábra]]
|-
| align="center"|1.1.3 ábra
|}

A körvezető egy kis, az $A$ pontot is tartalmazó, $ds$ darabkáján átfolyó áram hatásaként kialakul a – felfelé mutató – $dB$ tér, mint ez az 1.3 ábrán is látszik, és amelynek nagysága a Biot-Savart törvény alapján: 

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[dB = \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{r^2}= \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{a^2+x^2} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.2) </span>
|}

mivel a $P$ pontba mutató $r$ vektor merőleges a vezető síkjára, így a $ds$ vezető darabra is. Jól látszik az ábrán az is, hogy az átellenes, azaz a $B$ pontot is tartalmazó, ugyanolyan hosszú $ds$ szakasz által keltett $d\vec B'$ tér a tengelyre szimmetrikusan helyezkedik el az $A$ pontot magába foglaló szakasz $d\vec B$ teréhez képest. A két $dB$ vektor tengelyre merőleges komponense összeadásnál kiejti egymást. Ez azt jelenti, hogy mindössze a tengely-menti komponensekkel kell számolnunk, azaz:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[dB = \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{a^2+x^2}sin(\phi)= \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{a^2+x^2} \frac {a}{\sqrt {a^2+x^2}}= \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac {ds} {\left[a^2+x^2 \right]^{\frac32}}a \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.3) </span>
|}

A P pontban megkapjuk az indukciós tér nagyságát, ha kiintegrálunk az egész körre, azaz $ds$ helyett $2a\ pi$ – t helyettesítünk be:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[B =  \frac {\mu_o}{2} \frac {Ia^2} {\left[a^2+x^2 \right]^{\frac32}}  \qquad {\rm illetve} \qquad \vec B = \frac {\mu_o}{2\pi} \frac {\vec {\mu}} {\left[a^2+x^2 \right]^{\frac32}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.4) </span>
|}

ahol kihasználtuk, hogy a körvezető mágneses momentuma $\vec {\ mu} = I\vec A$. Ebből az eredményből például következik, hogy a körvezető középpontjában az indukciós tér nagysága:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[B =  \frac {\mu_o}{2} \frac {I} {a} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.5) </span>
|}

Az 1.1.3 második formulájából pedig következik, hogy távoltérben $(x >> a)$ a $B \sim  1/x^3$ – nel. Ez igen érdekes eredmény, hiszen az elektrosztatikában láttuk, hogy egy elektromos dipólus elektromos terének nagysága távoltéri közelítésben szintén a távolság köbével fordítottan arányos. Ez azt jelenti, hogy egy körvezető tere hasonló egy északi és egy déli pólussal rendelkező rúdmágnes teréhez, lásd a 1.1.4 a. és b. valamint az 1.1.5 ábrát.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Körvezető_2.JPG|közép|400px|]]
| [[Fájl:Körvezető_3.JPG|közép|300px|]]
|-
| align="center"|1.1.4 ábra
| align="center"|1.1.5 ábra
|}

Foglaljuk most össze ezt az igen fontos eredményt: egy köráram bizonyos szempontból úgy viselkedik, mint egy rúdmágnes, azaz a mágneses tere (távoltérben) hasonló szerkezetű. Azt is láttuk , hogy a mágneses térbe helyezett köráramra ható forgatónyomaték is hasonlóan írható fel (Elektromos töltések mozgása statikus mágneses térben 8.3), mint egy dipólus (mágneses) esetében. (Ez - az elektrosztatikai analógiát felhasználva - abból következik, ahogyan az elektromos dipólus kölcsönhat az elektromos térrel, azaz $\vec M = \vec p \times \vec E$ ; könnyű észrevenni a hasonlóságot a $\vec M = \vec {\mu} \times \vec B$ formulával.)


=== Az Ampèr törvény ===

Bár a Biot-Savart törvény alkalmazása áramjárta vezetők mágneses indukciós terének meghatározására a magnetosztatikában egy jól használható általános módszer, azonban néhány, valamilyen szimmetriával rendelkező elrendezés esetében egy másik módszer segítségével könnyebben, azaz egyszerűbb számolással juthatunk ugyanarra az eredményre. Lássuk ezt a másik módszert! Ehhez tekintsük a következő ábrát!

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Amper's_law_1.JPG|közép|200px|1.1 ábra]]
|-
| align="center"|1.2.1 ábra
|}

Az áramokat körülvevő - akár fiktív – zárt hurok mentén kiintegrált indukciós tér arányos a hurkon átmenő teljes árammal; ez az '''Ampère törvény''':

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \oint\limits_s \vec B d\vec s = {\mu_o}\sum_{j=1}^N I_j \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.2.1) </span>
|}

(ahol a $\vec Bd\vec s$ skalárszorzatot jelent)
Azt, hogy az áramokat milyen előjellel vegyük figyelembe a jobbkéz-szabály alapján határozhatjuk meg:

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Jobbkézszabály_2.JPG|közép|200px|]]
| [[Fájl:Jobbkézszabály_1.JPG|közép|200px|]]
|-
| align="center"|1.2.2 a ábra
| align="center"|1.2.2 b ábra
|}

A 1.2.1 ábrán látható elrendezést tekintve tehát: $\sum_{j=1}^3 I_j=I_1-I_2+I_3$ .

Az Ampère-törvény használhatóságára lássunk két példát! Az első az '''áramjárta $\infty$ hosszú, egyenes vezető tere'''. A 1.1.1 a ábra jól mutatja, hogy a mágneses indukciós tér szerkezete – az elrendezés hengerszimmetriájából adódóan – olyan, hogy nagysága csak a vezetőtől mért távolságtól függ; irányának megállapításához pedig a jobbkéz-szabály vagy a Biot Savart alkalmazására van szükség. A törvény alkalmazása most már igen egyszerű (az 1.2.2 b ábra alapján):

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \oint\limits_s \vec B d\vec s = 2r\pi B  \qquad {\rm illetve} \qquad {\mu_o}\sum_{j=1}^N I_j = {\mu_o}I \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.2.2) </span>
|}

tehát:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ 2r\pi B = {\mu_o}I  \qquad {\rm azaz} \qquad  B = \frac {{\mu_o}I}{2r\pi} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.2.3) </span>
|}

A másik – viszonylag egyszerű, de igen fontos – elrendezés a '''szolenoid''' vagy hosszú, egyenes tekercs, amelynek hossza általában jóval nagyobb, mint az átmérője; lásd a 1.2.3 a és b ábrát:

1.2.3 a és b ábra

A 1.2.3 b ábra, mely a szolenoid mágneses terét mutatja vasreszelékkel, jól szemlélteti azt a tapasztalati tényt (ezt egyébként a Biot-Savart törvény segítségével ki is lehet számítani, de csak a bátrabbak próbálkozzanak vele; a számításokból egyébként az is kijön, hogy az indukciós tér a tekercs végénél fele akkora, mint belül), miszerint az indukciós tér a tekercsen belül homogén, míg a szolenoidon kívül közvetlenül mellette csaknem zérus. Kihasználjuk még azt is, hogy az indukciós tér vektora a tekercs szélénél csaknem párhuzamos a tekercs tengelyével. Tekintsük most az 1.2.4 ábrán látható $N$ menetű, $\ell$ hosszúságú szolenoidot:

1.2.4 ábra

Ezután próbáljuk meg alkalmazni az Ampère-törvényt! Az 1.2.1 bal oldalán szereplő körintegrált a kék vonallal jelölt hurokra kell kiszámítani. Az előzőekben felsorolt tapasztalati tények alapján (melyeket a 1.2.3 b ábra szemléltet) a körintegrál egyszerűsödik a $B\ell$ szorzatra, míg az összáram: $NI$ (hiszen az $I$ áram $N$-szer megy át a hurok által határolt területen). Ezeket a tagokat behelyettesítve az 1.2.1-be némi átrendezés után kapjuk a szolenoid belsejében kialakult indukciós tér nagyságát:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ B = \frac {{\mu_o}NI}{\ell} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.2.4) </span>
|}

A '''toroid''' (1.2.5 a ába) esetében hasonlóan járunk el a mágneses indukciós tér nagyságának meghatározásánál.

1.2.5 a és b ábra

Első közelítésben úgy tekinthetünk egy – az ábrán is látható – toroidot, mint egy körbe hajlított szolenoidot, amelynek hossza helyett most a toroid középkörének $r = (a + b)/2$ kerületét helyettesítjük. Ezek szerint tehát a szaggatott vonal mentén B értéke:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ B = \frac {{\mu_o}NI}{2r\pi} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.2.5) </span>
|}

Azonban nem ez az igazán lényeges különbség a szolenoid és a toroid között. A szolenoid mágneses erővonalai kijutnak a tekercs belsejéből és "kívül záródnak", míg a toroid indukciós erővonalai (koncentrikus köröket alkotva; lásd az 1.2.5 b ábra) belül záródnak és kívül az indukciós tér csaknem zérus.


== Mozgó elektromos töltés tere ==