Időben változó elektromos és mágneses terek kapcsolata forrásának megtekintése

<wlatex>

__TOC__


== A mágneses indukció és alkalmazásai ==

=== A Faraday törvény ===

Idáig arra láttunk néhány példát, hogy az elektromos áram illetve az áramot létrehozó elektromos tér ( emlékszünk rá: $j = \sigma E$ ) hogyan kelt indukciós teret maga körül. Kérdés, hogy a mágneses indukciós tér létre tud-e hozni elektromos teret. A válasz az, hogy igen, és ez a fejezet azt tárgyalja, hogy ez hogyan lehetséges. A jelenség vizsgálatához először definiáljuk mi is az indukciós tér fluxusa, amelyet, bár nem neveztük nevén, a mágneses Gauss törvényben már alkalmaztuk. Az elektrosztatikában már használtuk az elektromos tér fluxusának fogalmát. Az analógia most is működik; tehát (az 1.1.1 b ábra alapján) '''mágneses fluxus''':

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[\Phi _m =  \int\limits_{A} \vec B d \vec A \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.1) </span>
|}

Azaz az indukciós tér és az infinitezimális felületelemhez tartozó vektor skalárszorzatot kell a felületre kiintegrálni, hogy megkapjuk az indukciós tér fluxusát. 

Több kísérlet is azt mutatja […], hogy az időben változó mágneses fluxus elektromos feszültséget indukál. Ennek matematikai megfogalmazása a '''Faraday törvény''':

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[\varepsilon =  -\frac {d\Phi _m}{dt} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.2) </span>
|}

ahol $\varepsilon$ az említett elektromos feszültség, más néven az elektromotoros erő. A negatív előjel szerepére még visszatérünk. Lássuk, hogyan is kell értelmezni a 1.1.2 törvényt! Ehhez tekintsük a 1.1.1 a és b ábrákat!

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Faraday_törv_1.JPG|közép|200px|]]
| [[Fájl:Magnetic_flux_3.JPG|közép|200px|]]
|-
| align="center"|1.1.1 a ábra
| align="center"|1.1.1 b ábra
|}

A 1.1.1 a sematikus ábra azt reprezentálja, hogy a kék vonallal jelölt zárt hurokban feszültség keletkezik. (Ha ezt a zárt hurkot egy létező vezetékdarab helyettesítené, akkor abban valóban áram folyna a változó fluxus hatására indukálódott elektromotoros erő miatt.) Rögtön felvetődhet a kérdés, hogy a zárt hurok által kifeszített lehetséges felületek közül - amelyeket éppen maga a zárt hurok határol - melyikre is kell a fluxust számítani (a 1.1.1 b ábra mutat egy ilyen határoló felületet). A válasz az, hogy bármelyik, a 1.1.1 b ábrán látható felülethez hasonló alakzat használható, mert a fluxus ugyanakkorának adódik mindegyikre. Amennyiben ez nem így lenne, akkor a két különböző fluxus-értéket adó felület által kialakított zárt térrész (és az azt határoló zárt felület) esetében a mágneses Gauss-törvény nem működne, ami azt jelentené, hogy mágneses monopólus van benne; ez pedig nem lehet. (Természetesen precízebb matematikai bizonyítás is létezik.) Ezután tekintsünk a 1.1.2 .a ábrán látható egyszerű gyakorlati példát!

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Faraday_törv_2.JPG|közép|300px|]]
| [[Fájl:Faraday_törv_3.JPG|közép|300px|]]
|-
| align="center"|1.1.2 a ábra
| align="center"|1.1.2 b ábra
|}

A két párhuzamos, az $R$ ellenálláshoz kapcsolódó, hosszú, egymástól $\ell$ távolságra lévő (nem szigetelt) vezeték-páron mozog $v$ sebességgel egy fémrúd, melynek ellenállása elhanyagolható. Az indukciós tér – melyet a kis körök reprezentálnak – az ábra síkjából kifelé mutat. (Amennyiben a kis körökben kereszt is lenne, akkor befelé mutatna.) A fémrúddal zárttá tett áramkörben elektromotoros erő jön létre, mivel a rúd mozog és emiatt a fluxus változik; az ábra jelöléseit használva:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[\Delta \Phi _m = B\ell v \Delta t \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.3) </span>
|}

A Faraday-törvény alkalmazásával a zárt körben létrejövő feszültség nagysága:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \left| \varepsilon \right| = \frac {B\ell v \Delta t}{\Delta t} = B\ell v \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.4) </span>
|}

A zárt körben létrejövő, az $R$ ellenálláson is átfolyó áram:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I = \frac {B\ell v }{R} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.5) </span>
|}

Az áram irányát a rúdban lévő töltésen kialakuló $\vec F_L = q \vec v \times \vec B$ erő és a belőle származtatható elektromos téresősség $\vec E = \vec v \times \vec B$ alkalmazásával kapjuk (az indukált térerősség adja az áramirányt).

Az áramjárta vezetőre, vagyis a rúdra ható Lorentz-erő (1.1.2 b ábra):

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ F_L = BI\ell = \frac {B^2 \ell ^2 v }{R} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.6) </span>
|}

A rudat egyenletes sebességgel mozgató $F$ erő nagysága éppen az $F_L$ – el megegyező, és teljesítménye:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P = F_L v = \frac {B^2 \ell ^2 v^2 }{R} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.7) </span>
|}

Ez természetesen megegyezik az $R$ ellenálláson disszipált teljesítménnyel:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P = R I^2 = R \left(\frac{B\ell v}{R}\right)^2 =  \frac {B^2 \ell ^2 v^2 }{R} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1.8) </span>
|}

Az áram irányát könnyen meghatároztuk ennél az egyszerű elrendezésnél a Lorentz-erő segítségével. Vegyük észre, hogy az említett modell esetében az indukcióval létrejött áram mágneses indukciós tere (Biot-Savart törvény) éppen ellenkező irányú az eredeti B – vel, azaz a rúd mozgatása miatt bekövetkező fluxusnövekedést igyekszik a rendszer "csökkenteni". Ez tehát általában azt jelenti, hogy a rendszer igyekszik kitérni a hatás alól, vagyis negatív visszacsatolás történik; ez az oka annak, hogy a 1.1.2 jobb oldalán megjelenik a negatív előjel. Vegyük észre, hogy ez éppen a '''Lenz-törvény, azaz: egy zárt körben indukált feszültség iránya olyan, hogy az általa keltett áram mágneses tere a fluxusváltozás, tehát az indukció ellen hat'''. Ez a törvény természetesen alkalmazható az említett áramkörnél jóval bonyolultabb elrendezések esetében is, és egyszerű magyarázatot ad különböző látványos kísérlet jelenségeire. Néha nem is szükséges, hogy egy zárt hurokban változzon a fluxus. Az indukció jelenségének kialakulásához elegendő ha egy viszonylag nagyméretű vezető darab mozog indukciós térben, esetleg bizonyos részein változik a mágneses fluxus. Ekkor  [http://en.wikipedia.org/wiki/Eddy_current örvényáramok] jelennek meg az anyagon belül, melyek szintén – a Lenz-törvénynek megfelelően – negatív visszacsatolást jelentenek. [video…???] Az örvényáramok megjelenése a Joule hő miatt melegítésre is használható. Az örvényáramok alkalmazására számos példa van [http://en.wikipedia.org/wiki/Electric_meter villanyóra], indukciós forrasztás, stb…; a legismertebb közülük talán mégis az [http://en.wikipedia.org/wiki/Inductive_oven indukciós sütő vagy főzőlap] .

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Ind_főzőlap.jpg|közép|300px|]]
|-
| align="center"|1.1.3 ábra
|}

A képen jól látható, hogy miért is előnyös indukciós főzőlapot használni. A fém serpenyőt – és benne az ételt – melegíti csak fel az indukcióval létrehozott örvényáram, a főzőlapot magát nem, így a sütés, főzés folyamata is energiatakarékosabb. 
Az örvényáramok miatti energia-disszipáció gyakran a vezetőből készült test mozgásának fékeződésében jelentkezik. [videó] Az indukció jelenségén alapul az energiatakarékos autókba beépített indukciós fék is, amely fékezésnél a mozgási energia egy részét ”visszatáplálja” az elektromotoros erő segítségével az akkumulátorba, így azt a későbbiekben gyorsításra, stb. lehet használni; egy ilyen autó városi fogyasztása akár 30 - 40%-al is kisebb lehet, mint egy hagyományos autóé (a gyártók szerint).


=== A mozgási indukció ===

Amennyiben egy fémvezető mozog indukciós térben, akkor kialakul az ún. '''mozgási indukció'''. A jelenség magyarázatához tekintsük az 1.2.1 ábrát! 

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Mozg_ind.JPG|közép|150px|]]
|-
| align="center"|1.2.1 ábra
|}

Egy pozitív – a rúddal együtt mozgó – $q$ töltésre a $B$ térben hat a Lorentz-erő. Emiatt töltések mozdulnak el a rúd végei felé és ott fel is halmozódnak mindaddig, amíg az általuk keltett elektromos tér hatása ki nem ejti a Lorentz-erőt (hasonló magyarázatot már láttunk a Hall-effektusról szóló fejezetben), azaz:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ qE = qvB \qquad \Longrightarrow  \qquad E = vB \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.2.1) </span>
|}

Ebből megkaphatjuk a fémrúd $a$ és $b$ vége közötti indukált feszültséget, azaz az elektromotoros erőt:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \varepsilon = V_{ab} = E\ell = vB\ell \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.2.2) </span>
|}

A [http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamo dinamó] működése is a mozgási indukción alapul.


=== A generátor ===

Az indukció jelenségén alapuló berendezések közül valószínűleg a legfontosabb a váltakozó feszültséget (ill. áramot)  keltő generátor, amelynek igen leegyszerűsített vázlata látható az 1.3.1 ábrán:

1.3.1 ábra

Az $A = ab$ területű vezető keret $\omega$ szögsebességgel egyenletesen forog. A mágneses fluxus felírható a $\Phi_m = BAcos(\omega t)$ formában. Faraday-törvényének 1.1.2 felhasználásával kapjuk az indukált feszültséget, más néven a váltakozó feszültséget:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \varepsilon =  -\frac {d\Phi _m}{dt}= V(t) = BA\omega sin(\omega t) = V_0 sin(\omega t)  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.3.1) </span>
|}

A generátor segítségével tehát mechanikai teljesítményt tudunk átalakítani elektromos teljesítménnyé. Az atomerőművek, a szénerőművek, vagy a gáz erőművek a termelt hőmennyiséget alakítják át elektromos energiává. A következő képen egy erőmű generátorai láthatók:

1.3.2 ábra

A szélerőművekben szintén generátort alkalmaznak.   

== Az időben változó elektromos tér ==