Későneutron-paraméterek vizsgálata, uránkoncentráció meghatározása forrásának megtekintése

<wlatex>

__TOC__

==Bevezetés==

Az <sup>235</sup>U atommag egy neutron befogását követő hasadása során keletkező instabil közbenső mag két  hasadványmagra<ref>A hasadás pillanatában (azaz 10<sup>-14</sup> s-on belül) keletkező atommagokat hasadványoknak nevezzük. Ezek később elektronokat szednek fel, majd radioaktív bomlások révén új atomokká alakulnak át. Ez utóbbiakat ''hasadási termékek''nek nevezzük.</ref> hasad, ezenkívül hasadásonként néhány (<sup>235</sup>U esetében átlagosan 2,47) neutron szabadul fel. A keletkező neutronok több mint 99%-a a hasadást követő 10<sup>-12</sup> s-on belül emittálódik. Ezeket a neutronokat ''prompt neutronok''nak nevezzük. Az ezt követően - akár néhány perccel később - kibocsátott neutronok az ún. ''késő neutronok''. Bár ezek mennyisége a prompt neutronokéhoz viszonyítva kicsi (<sup>235</sup>U esetében az össz-neutronszámnak csupán 0,64%-a), jelentőségük igen nagy a reaktorok szabályozhatósága szempontjából.


==Elméleti összefoglalás==

Az <sup>235</sup>U termikus befogását követően létrejött közbenső mag sokféle (több 100) különböző módon hasadhat szét. Egy ilyen lehetőség például a következő:

<span style="font-size:110%"><sup>235</sup>U+n &rArr; <sup>236</sup>U* &rArr; <sup>90</sup>Kr+<sup>143</sup>Ba+3n</span>

A hasadási termékek száma igen nagy. A hasadványok relatív gyakoriságának tömegszám szerinti eloszlását az 1. ábrán láthatjuk. Megállapítható, hogy a görbének a 95 és a 140 tömegszám közelében egy-egy maximuma van. A hasadásban közvetlenül keletkező primer hasadási termékek nagy neutronfelesleggel rendelkeznek az azonos tömegszámú stabil atommagokhoz képest. A hasadási termékek az esetek döntő többségében sorozatos izobár magátalakulással, ${\beta^{-}}$-bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és így közelítik meg a stabil ${N-Z}$ görbét. A fent bemutatott hasadványpár esetében a következő két bomlássorozat megy végbe:


{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ {^{90}Kr\frac{\beta^{-}}{33s}} \to {^{90}Rb\frac{\beta^{-}}{2.7min}} \to {^{90}Sr\frac{\beta^{-}}{28y}} \to {^{90}Y\frac{\beta^{-}}{64h}} \to {^{90}Zr} (stabil) \]</latex></div> 
| align = "right" | <span id="eq2">  </span> 
|}

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ {^{143}Ba\frac{\beta^{-}}{0.5min}} \to {^{143}La\frac{\beta^{-}}{12min}} \to {^{143}Ce\frac{\beta^{-}}{33h}} \to {^{143}Pr\frac{\beta^{-}}{13.7d}} \to {^{143}}Nd (stabil) \]</latex></div> 
| align = "right" | <span id="eq2">  </span> 
|}

A vonalak alatti idők a ${\beta^{-}}$-bomlások felezési idejét jelentik.

{|
| <span id="fig:1">[[Fájl: FizLab5_KNP_01.jpg|közép|bélyegkép|300px|1.ábra: Az <sup>235</sup>U hasadási termékeinek tömegszám szerinti eloszlása]]</span>
|}

===A prompt és késő neutronok keletkezése a hasadás során===

Amint a bevezetőben említettük, a hasadás során keletkező neutronok csaknem mindegyike - több mint 99%-a - a hasadást követően szinte azonnal, számottevő késés nélkül keletkezik. Ezek a ''prompt neutronok'', amelyeket a hasadványok bocsátják ki. Gerjesztési energiájuk ugyanis általában sokkal nagyobb mint egy neutron szeparációs energiája. Az ilyen gerjesztett állapotok neutronemisszióval történő bomlásának az ideje 10<sup>-15</sup> s (10<sup>-14</sup> s - 10<sup>-12</sup> s) vagy kisebb. Nem minden hasadvány emittál neutronokat, néhányuk esetében a legerjesztődés történhet ${\gamma}$ emisszióval is.

Ezt követően a hasadási termékek ${\beta}$-bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és további neutron-kibocsátás általában már nem történik. Némelyikük izobár átalakulása azonban olyan leányelem képződéséhez vezet, amelyikben a gerjesztési energia nagyobb, mint a neutron szeparációs energiája. Ekkor a ${(Z, N)}$ rendszámú, illetve neutronszámú hasadási termék magjából magasan gerjesztett állapotú ${(Z+1, N-1)}$ mag keletkezik, amely "azonnal" kibocsát egy neutront, és átalakul a ${(Z+1, N-2)}$ maggá. Így keletkeznek az ún. ''késő neutronok''. A ${(Z, N)}$ magot ''későneutron-anyamag''nak, a ${(Z+1, N-1)}$ magot pedig ''későneutron-emitter''nek nevezzük. Az ily módon keletkező késő neutronok esetében a maghasadás pillanatától számított teljes késési idő várható értékét az anyamag ${\beta}$-bomlásának felezési ideje szabja meg. Megállapíthatjuk továbbá, hogy az anyamagok ${\beta}$-bomlását követően létrejött emitter magok esetében a gerjesztési energia kisebb, mint a közvetlen hasadási termékek esetében, emiatt a késő neutronok átlagos energiája számottevően kisebb (300÷600 keV), mint a prompt neutronoké (átlagosan 2 MeV).

A hasadásban keletkező neutronok teljes ''hozama'' (száma, ${\nu}$) a prompt neutronok és a késő neutronok hozamából (${\nu_{p}}$, illetve ${\nu_{k}}$) tevődik össze.

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \nu =\nu_{p}+\nu_{k} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2">  </span>
|}

A késő neutronok mennyiségét szokás még az ún. ''későneutron-hányad'' formájában is kifejezni:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \beta=\frac{\nu_{k}}{\nu} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1) </span>
|}

A 2. ábrán a későneutron-hozamnak a hasadást kiváltó neutron energiájától való függését mutatjuk be <sup>235</sup>U és <sup>239</sup>Pu esetére.

{|
| <span id="fig:2">[[Fájl: FizLab5_KNP_02.jpg|közép|bélyegkép|300px|2.ábra: A későneutron-hozam a hasadást kiváltó neutronenergiájának a függvényében]]</span>
|}

A görbékből megállapítható, hogy a  későneutron-hozam a 0 ≤ E<sub>n</sub> ≤ 4 MeV intervallumban gyakorlatilag független a hasadást kiváltó neutronok energiájától.

A teljes későneutron-hozamok értékei jelentősen függnek a hasadóképes izotóptól. Az 1. táblázatban bemutatott értékekből azonban kétféle szabályt mégis megfigyelhetünk:

* Egy adott elemre vonatkozóan a későneutron-hozam növekszik a tömegszámmal ${(A)}$.
* A későneutron-hozam csökken a protonszámmal ${(Z)}$.


<div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">1. táblázat
Teljes későneutron-hozamok (későneutron-szám per 100 hasadás) különböző
izotópoknak termikus neutronok által kiváltott hasadásaira</div>

<div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;"
|-
|-
| hasadóképes mag   || ${\nu}$<sub>k</sub> (neutron/100 hasadás)
|-
| <sup>233</sup>U   || 0,667 $\pm$ 0,0029
|-
| <sup>235</sup>U   || 1,621 $\pm$ 0,0500
|-
| <sup>238</sup>U*  || 4,390 $\pm$ 0,1000
|-
| <sup>239</sup>Pu  || 0,628 $\pm$ 0,0380
|-
| <sup>240</sup>Pu* || 0,950 $\pm$ 0,0800
|-
| <sup>241</sup>Pu  || 1,520 $\pm$ 0,1100
|-
| <sup>242</sup>Pu* || 2,210 $\pm$ 0,2600
|}
</div>

<sup>*</sup> Gyors neutron által kiváltott hasadásokra vonatkozó adat

===A későneutron-csoportok===

A magfizikusok eddig 66 különböző későneutron-anyamagot azonosítottak.<ref>Ezek a Ga, As, Se, Br, Kr, Rb, Sr, Y, In, Sn, Sb, Te, I, Xe, Cs, Ba, La és Tl egyes izotópjai.</ref> Felezési időik 0,12 s és 78 s között változik, emiatt az általuk keltett késő neutronok jelentősen különböző késleltetési időkkel jelennek meg. Reaktorkinetikai számításokban a késő neutronok korrekt kezelése ennek megfelelően az lenne, ha valamennyi anyamagot a saját felezési idejével és hozamával vennénk figyelembe. Ezzel kapcsolatban két fő probléma merül fel:

* Az anyamagok nagy száma miatt a feladat nagyon elbonyolódna.
* Az egyes anyamagok bomlási sémája, felezési ideje, részaránya nem kellő pontossággal ismert.


G. R. Keepin dolgozta ki kísérleti úton a számítások számára kielégítő közelítést a későneutron-adatok kondenzált kezelésével, azaz a későneutron-csoportok létrehozásával. Hasonlóan a mai gyakorlaton elvégzendő méréshez, hasadóanyagból készített mintát rövid ideig tartó neutron-besugárzásnak tett ki. A besugárzott mintában bekövetkezett hasadások révén nagy számú anyamag keletkezett, amelyek a besugárzást követően felezési idejük szerint lecsengő későneutron-forrásként működtek - ${S_{k}(t)}$. Ha a mintában a besugárzás során bekövetkezett hasadási reakciók száma ${n_\mathrm{f}}$ volt, akkor a keltett anyamagok száma ${\nu_{k}}n_\mathrm{f}$. Az ${S_{k}(t)}$ függvény ezen anyamagok lebomlását, és ennélfogva a késő neutronok keletkezésének időbeli alakulását írja le. A 3. ábrán egy ilyen görbe látható a <sup>87</sup>Br izotópnak, egy tipikus anyamagnak a bomlási-görbéjével együtt.

{|
| <span id="fig:2">[[Fájl: FizLab5_KNP_03.jpg|közép|bélyegkép|300px|3.ábra: A későneutron-forráserősség csökkenése az idő függvényében]]</span>
|}

Az ${S_\textrm{k}}(t)$ bomlási görbe az összes anyamag járulékos bomlásgörbéinek bonyolult szuperpoziciója. Keepin szerint az ${S_\textrm{k}}(t)$ jól közelíthető hat exponenciális függvény összegével:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ S_\textrm{k}(t) = n_\textrm{f}\sum_{i=1}^6\nu_\textrm{ki}\lambda_\textrm{ki}e^{{-\lambda_\textrm{ki}}t} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2) </span>
|}


ahol

{| cellpadding="2" text-align: center; cellspacing="0"
|-
| $\nu_\mathrm{ki}$ || : az i-edik későneutron-csoport hozama
|-
| $\lambda_\mathrm{ki}$ || : az i-edik későneutron-csoport bomlási állandója
|}


Az ${S_{k}}(t)$ függvény a fenti közelítésben olyan későneutron-forrásfüggvényt reprezentál, amelyben mindegyik csoport saját $\nu_{ki}$ későneutron-hozammal, átlagos $\lambda_{ki}$ bomlási állandóval, ill. az ennek megfelelő átlagos felezési idővel rendelkezik. Három különböző hasadóképes izotópra (<sup>235</sup>U, <sup>239</sup>Pu, <sup>233</sup>U) a későneutron-csoportok főbb adatait a 2. táblázatban foglaltuk össze. Ez a hatcsoportos későneutron-struktúra általánosan használatos a reaktorkinetikában.


<div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">2. táblázat
A későneutron-csoportok adatai három hasadóképes izotópra
</div>

{| border="1" cellpadding="2" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto; text-align: center;" cellspacing="0" width="500"
|- valign="top"
! scope="row" width="10%" rowspan="2" | 
| width="20%" style="text-align: center;" rowspan="2" | késő neutronok lehetséges anyamagjai
| width="10%" style="text-align: center;" rowspan="2" | közepes energia (MeV)
| width="20%" colspan="3" style="text-align: center;" | anyamagok átlagos felezési ideje (s)
| width="20%" colspan="3" style="text-align: center;" | késő neutronok részaránya az összes hasadási neutronhoz viszonyítva (%)
|- valign="top"
| <sup>235</sup>U <!-- column 1 occupied by cell   -->
| <sup>239</sup>Pu || <sup>233</sup>U || <sup>235</sup>U || <sup>239</sup>Pu || <sup>233</sup>U
|-
| 1 || <sup>87</sup>Br,  <sup>142</sup>Cs || 0,25 || 55,72 || 54,28 || 55,0 || 0,021 || 0,0072 ||0,0226
|-
| 2 || <sup>137</sup>I,  <sup>88</sup>Br || 0,56 || 22,72 || 23,04 || 20,57 || 0,140 || 0,0626 ||0,0786
|-
| 3 || <sup>138</sup>I,  <sup>89</sup>Br,  <sup>(93, 94)</sup>Rb || 0,43 || 6,22 || 5,60 || 5,00 || 0,126 || 0,0444 || 0,0658
|-
| 4 || <sup>139</sup>I,  <sup>(93, 94)</sup>Kr,  <sup>143</sup>Xe,  <sup>(90, 92)</sup>Br || 0,62 || 2,3 || 2,13 || 2,13 || 0,252 || 0,0685 ||0,0730
|-
| 5 || <sup>140</sup>I,  <sup>145</sup>Cs || 0,42 || 0,61 || 0,618 || 0,615 || 0,074 || 0,018 || 0,0135
|-
| 6 || (Br, Rb, As stb.) || - || 0,23 || 0,257 || 0,277 || 0,027 || 0,0093 ||0,0087
|-
| colspan="6" style="text-align: right;"| összesen:
| 0,64
| 0,21
| 0,26
|}


===A késő neutronok hatása a neutronfluxus időbeni változására===
<ref>Ez a fejezet azoknak szóló összefoglalás, akik nem hallgatták a ''Reaktorfizika'' előadást, a többieknek könnyű olvasmány.</ref>

Ha egy termikus reaktor  időben állandósult állapotban üzemel, akkor az egymást követő neutrongenerációk neutronszámának hányadosát jelentő ''effektív sokszorozási tényező'', ${k_\textrm{eff}}$ éppen egységnyi. A reaktor teljesítményének növelésekor vagy csökkenésekor a sokszorozási tényező 1-től eltér:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \Delta k_\mathrm{eff} = k_\mathrm{eff}-1 \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
|}

A  $\rho$  ''reaktivitás'' definíció szerint a következő:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \rho = \frac{\Delta k_\mathrm{eff}}{k_\mathrm{eff}} = \frac{k_\mathrm{eff}-1}{k_\mathrm{eff}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (3) </span>
|}

Időben állandósult állapotban $\rho$ = 0. A szokásos körülmények közötti teljesítményváltoztatások az állandósult állapothoz közeli állapotokon keresztül mennek végbe, és ekkor jó közelítéssel
${\rho \approx \Delta{k}_\mathrm{eff}}$. Minthogy ${ \Delta{k}_\mathrm{eff} }$ jelenti a neutronszám növekedési arányát az egyik generáció és a soron következő generáció között, a teljes neutronszámnak egy generáció élete során bekövetkező növekedése ${n \Delta{k}_\mathrm{eff} }$-fel egyenlő, ahol ${n}$ a neutronszám az induló neutronpopulációban. Ha a neutronok átlagos élettartama ${\ell}$, akkor a neutronszám időegység alatti változását a következő differenciálegyenlet adja meg:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{dn}{dt} = \frac{n\Delta k_\mathrm{eff}}{\ell}. \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (4) </span>
|}

Feltételezve azt, hogy ${ \Delta k_\mathrm{eff} }$ nem függ az időtől, integrálással kapjuk:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t) = n(t_0) \exp \Big( \frac{\Delta k_\mathrm{eff}}{\ell}t \Big) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (5) </span>
|}

Az oktatóreaktorban ${ \ell}$ = 7 ${\times}$ 10<sup>-5</sup> sec. Definiáljuk a reaktor periódusidejét ${(T)}$: az az idő, amely alatt a neutronszám az ${e}$-szeresére változik (${e}$ = 2,7172...), (5) alapján tehát:


{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ T = \frac{\ell}{\Delta{k}_\mathrm{eff}}. \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (6) </span>
|}
  
A neutronszámra felírt összefüggés átvihető közelítőleg (egycsoportos elmélet) a neutronsűrűségre és ezen keresztül a neutronfluxusra és a reaktorteljesítményre is:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t)=n(t_{0})e^{\frac{t}{T}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (5a) </span>
|}


Az időben állandó, stacioner üzemű reaktorban ${  n(t) = n(t_{0})  }$ = konst., tehát ${T}$ végtelen. A reaktor periódusideje rendkívül fontos mennyiség a változó teljesítményű reaktor biztonsága szempontjából. Minden reaktorba beépítenek olyan biztonságvédelmi rendszert, amely azonnal leállítja a reaktort, ha a periódusidő a szabályozhatóság lehetőségeit tekintve túlságosan kicsiny. Ha nem üzemelne ''periódusidő-védelem'', a 7÷10 s-nál rövidebb periódusidő már kifejezetten veszélyes állapotot jelentene.

A késő neutronok fontosságának a kidomborítása érdekében határozzuk meg a periódusidőt abban az esetben, amikor a reaktivitás ${\rho}$ = 0,25%<ref>A reaktivitást (amely dimenzió nélküli szám) gyakran fejezzük ki %-ban. Például ${\rho}$ = 0,25% azt jelenti, hogy ${\rho}$ = 0,0025 (vagyis (3) alapján ${k_\mathrm{eff} \approx}$ 1,0025).</ref>, de csak a prompt neutronokat figyelembe véve. Mivel ${\Delta k_\mathrm{eff} \approx \rho}$ = 0,0025, (6) alapján a periódusidőre a következő adódik:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ T = \frac{\ell}{\Delta{k}_\mathrm{eff}} = \frac{0,00007}{0,0025} = 0,028 s \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
|}

Ezt azt jelenti, hogy 1 s alatt a neutronszám

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{n(1s)}{n(0)} = e^{\frac{1s}{0,028s}}= e^{35,7}=3\times 10^{15} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
|}


szeresére nő. Semmilyen szabályozórendszer (amely mechanikus elemeket is tartalmaz) nem tudja követni ezt a gyors felfutást. "Szerencsére" a késő neutronok bizonyos feltételek között jelentősen lelassítják a növekedési ütemet, és ezzel lehetővé teszik a reaktorok szabályozását.

A késő neutronok hatásának a megvilágítása érdekében leegyszerűsítjük a tárgyalást: csak egyetlen, átlagos későneutron-csoportot veszünk figyelembe<ref>A részletest tárgyalását lásd az [5] jegyzetben.</ref> Ha a 2. táblázatban az  <sup>235</sup>U-ra adott felezési időket átlagoljuk, 9 s-t kapunk, vagyis a (2) alatti hat bomlási állandót az átlagos

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \bar{\lambda}=\frac{\log 2}{9s}=0,077s^{-1} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
|}

bomlási állandóval helyettesítjük. Ha ${C(t)}$-vel jelöljük a t időpillanatban a reaktorban levő
későneutron-anyamagok számát, akkor 1 s alatt ${\bar{\lambda}C(t)}$ késő neutron keletkezik. Ennek megfelelően a (4) egyenlet az alábbi alakba megy át:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{dn}{dt}=\frac{nk_{\mathrm{eff}}(1-\beta)-n}{\ell}+\bar{\lambda}\textit{C(t)} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (7a) </span>
|}

amelynek a jobb oldalán az első tag a prompt, a második tag pedig a késő neutronok által képviselt neutronsokszorozást fejezi ki. Ezt az egyenletet ki kell egészítenünk a későneutron-anyamagok számát megszabó egyenlettel:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{dC}{dt}=-\bar{{\lambda}}\textit{C(t)}+\frac{nk_{\mathrm{eff}}{\beta}}{\ell} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (7b) </span>
|}

  
A jobboldal első tagja az 1 s alatt elbomló, a második tag pedig az 1 s alatt a hasadásokban keletkező anyamagok számát adja meg.<ref>Vegyük észre, hogy éppen ezzel az utóbbi taggal csökkent (7a) jobb oldalának első tagja a (4) egyenlethez képest.</ref> Nézzük meg ezután, mennyiben növelik a késő neutronok a reaktorperiódust!

(5a) mintájára a (7) egyenletrendszer megoldását az alábbi alakban keressük:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t) = n_{0}e^{t/T} \quad \quad \textrm{és} \quad \quad C(t)=C_{0}e^{t/T} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
|}

Ha ezt (7)-be helyettesítjük, elemi számolás után ${T}$-re a következő egyenletet kapjuk:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{\rho}{\beta}=\frac{\ell/(\mathrm{k}_{\mathrm{eff}}\beta)}{T}+\frac{1}{1+\bar{\lambda}T} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (8) </span>
|}

ahol felhasználtuk a (3) alatt definiált reaktivitást. Amikor ennek az egyenletnek a megfelelőjét 6 későneutron-csoport figyelembe vételével vezetjük le, akkor a kapott egyenletet ''reciprokóra egyenlet''nek nevezzük.

Adott reaktivitás mellett a (8) egyenlet a ${T}$ periódusidőre vonatkozóan másodfokú egyenlet:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{\rho}{\beta}\bar{\lambda}T^{2}+\Big(\frac{\rho}{\beta}-\frac{\ell\bar{\lambda}}{\mathrm{k}_{e\mathrm{ff}}\beta}-1\Big)T-\frac{\ell}{k_{e\mathrm{ff}}\beta}=0 \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (9) </span>
|}

Jelöljük a két gyököt ${T_{1}}$-gyel és ${T_{2}}$-vel. Ezek felhasználásával a neutronszám időfüggése

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t)=n_{1}e^{t/T_{1}}+n_{2}e^{t/T_{2}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (10) </span>
|}
		
alakban adódik, ahol az ${n_{1}}$ és ${n_{2}}$ állandók a kezdeti feltételektől függnek. Ha a ${\rho}$ reaktivitás negatív (vagyis ${k_\mathrm{eff}}$ < 1, tehát a reaktor ''szubkritikus''), a (9) egyenlet mindhárom együtthatója negatív, tehát mindkét gyök negatív<ref>Emlékeztetünk arra az elemi algebrai szabályra, hogy két egymást követő együttható azonos előjele negatív, különböző előjele pedig pozitív gyököt jelent.</ref>, vagyis a neutronszám (10) szerint a kezdeti feltételektől függetlenül időben csökken. Ha azonban a ${\rho}$ reaktivitás pozitív (vagyis ${k_\mathrm{eff}}$ > 1, tehát a reaktor ''szuperkritikus''), a (9) egyenlet első együtthatója pozitív, a harmadik pedig továbbra is negatív. A reaktivitástól függően a második együttható lehet negatív is, pozitív is. Mindkét esetben azonban van egy előjelváltás és egy előjelkövetés, vagyis a két gyök közül az egyik negatív, a másik pozitív. Legyen az utóbbi ${T_{1}}$. Ekkor elegendően nagy ${t}$ idő elteltével (10) átmegy az

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t)=n_{1}e^{t/T_{1}} \hspace{20mm} (\textit{t}\gg\textit{T}_{2}) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (11) </span>
|}

alakba. A késő neutronok jelenlétében is igaz marad tehát, hogy egy magára hagyott szuperkritikus reaktorban a neutronszám exponenciálisan nő. Döntő viszont az időállandó nagysága. Vegyük fel a következő számértékeket:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \beta=0,0064 \hspace{10mm} \ell=7 \times 10^{-5} \hspace{10mm} \rho=0,0025 \hspace{10mm} \bar\lambda=0,077s^{-1} \hspace{10mm} k_{\textrm{eff}} = 1,0025 \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
|}

Ezeket (9)-be helyettesítve ${T}$<sub>1</sub> = 20,31 s adódik, ami lényegesen nagyobb idő, mint a késő neutronok nélkül kapott 0,028 s. Ez a számpélda jól mutatja a lényeget: ''a késő neutronok hatására a periódusidő olyan mértékben megnő, hogy a neutronszám növekedését külső eszközökkel  biztonságosan befolyásolni lehet.''

Ez az állítás azonban csak addig érvényes, amíg a reaktivitás nem túlságosan nagy, pontosabban, amíg ${\rho/\beta}$ < 1. Amíg ez fennáll, a (9) egyenletben az ${\ell}$-et tartalmazó tagok elhanyagolhatók, vagyis a pozitív periódus közelítőleg így írható:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ T_{1} \approx \frac{\beta-\rho}{\rho\bar{\lambda}} \hspace{30mm} (\rho/\beta<1) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (12a) </span>
|}

A fenti számpéldában ez a közelítés ${T}$<sub>1</sub> = 20,26 s-t ad, tehát a közelítő képlet elég pontos. Minőségileg megváltozik azonban a helyzet, amikor ${\rho/\beta}$ > 1. Ekkor ugyanis (9)-ben a második tag együtthatója pozitívra vált, és az egyenlet pozitív gyökét más képlettel kell közelíteni:<ref>Az Olvasó számára hasznos gyakorlat a közelítő képlet levezetése, így ugyanis ellenőrizheti, mennyire sikerült az eddigieket megértenie.</ref>

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ T_{1} \approx \frac{\ell}{k_{\textrm{eff}}(\rho-\beta)} \hspace{20mm} (\rho/\beta>1) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (12b) </span>
|}

Például, ${\rho/\beta}$=1,1 esetén (${ k_\mathrm{eff} }$ = 1,0071) a (12b) képlet szerint  ${T_{1}}$ = 0,109 s, azaz a reaktor ismét  szabályozhatatlanná válik. A pontos érték ${T_{1}}$ = 0,099 s Azt találtuk tehát, a reaktor csak addig szabályozható, amíg ${\rho/\beta}$ < 1, vagyis   ${k_\mathrm{eff}}$ < 1+${\beta}$ (közelítőleg). Más szavakkal a szabályozhatóság szükséges feltételét úgy szoktuk kifejezni, hogy ''a reaktor a késő neutronok nélkül legyen szubkritikus''. Ha azonban a reaktor már a késő neutronok nélkül is szuperkritikus (vagyis ha ${\rho/\beta}$ > 1), a reaktor szabályozhatatlanná válik, ''megszalad''. Az ilyen reaktorállapotot ''prompt szuperkritikus állapotnak'' nevezzük, amelynek a fellépte súlyos reaktorbalesetnek minősül.
 
Az elmondottakból következik, hogy a $\beta$ későneutron-hányadnak a reaktorszabályozás szempontjából döntő jelentősége van. Erre való tekintettel ezt választjuk a reaktivitás egységének is. Ennek az egységnek a neve: ''dollár'', egy reaktor reaktivitása 1 dollár, ha ${\rho/\beta}$=1. Mint láttuk, a gyakorlatban ezt a reaktorállapotot kerülni kell, ezért a gyakorlatban ennek az egységnek a 100-ad részét, a centet (<big> ˘ </big>) használjuk, egy reaktor reaktivitása 1<big>˘</big>, ha ${\rho/\beta}$ = 0,01.

==Későneutron paraméterek meghatározása==

===A méréshez szükséges eszközök, anyagok===

* Reaktor és besugárzó csőposta
* besugárzandó urán fólia csőposta-tokban
* moderátorral töltött mérőedény
* neutrondetektor-gyűrű 6 db detektorból (<sup>3</sup>He)
* mérő elektronika (tápegység, diszkriminátor)
* PC sokcsatornás analizátorkártyával (multiscaler - időanalizátor)

===A mérés menete===

A reaktor aktív zónájában besugárzott természetes urán fólia a csőposta segítségével (kb. 3 s-os szállítási idő után) a mérőhelyre kerül. A besugárzást követően a mérőedényben elhelyezett neutrondetektorok mérik a fólia időben csökkenő későneutron-intenzitását. Az intenzitás időbeli változásának rögzítése az analizátorkártyával történik, amely a detektorok diszkriminált jeleit összegzi a megadott léptetési időtartam alatt (1 s). A léptetési időtartam alatt gyűjtött impulzusok időbeli sorrendjüknek megfelelően egymás utáni csatornákban tárolódnak. Amint azt az elméleti összefoglalóban láttuk, a későneutron-intenzitásnak ez a változása nem más, mint különböző felezési idejű exponenciális bomlási görbék lineáris szuperpozíciója. A későneutron-intenzitás mért értékeiből a kiértékeléskor lépésről-lépésre meghatározzuk és levonjuk a leghosszabb felezési idejű exponenciális komponenseket.

A reaktor 1 kW-os teljesítményénél az urán fóliát tartalmazó tok a csőposta segítségével az aktív zónába kerül. A meghatározott besugárzási idő elteltével a minta automatikusan kerül a mérő pozícióba. A minta mozgását érzékelő, és a csőpostát vezérlő fotocella jele a méréshez startjelként használható. (Figyelem: a mozgásérzékelő befelé menet is jelez!)

A paraffin moderátorral töltött mérőedényben 6 db, párhuzamosan kapcsolt <sup>3</sup>He töltésű neutron-számlálócső van elhelyezve. A termikus neutronenergiák tartományában érzékeny detektorok miatt a detektálandó késő neutronokat le kell lassítani. Éppen erre szolgál a mérőedényben levő moderátor. A neutronok lelassulási ideje elhanyagolhatóan kicsi (kb. 1${\mu}$s.), még a gyakorlatilag mérhető legrövidebb felezési idejű késő neutronok késleltetési idejéhez képest is.

A neutrondetektorok esetében fordítsunk gondot a jelamplitúdó diszkriminációs szint helyes megválasztására! Mint ismeretes, az említett detektortípusnál az amplitúdódiszkriminációval jelentősen csökkenthető a ${\gamma}$ és zajháttér. A diszkriminációs szint beállításhoz először keressük meg azt a maximális diszkriminációs értéket, amelynél
még jelentős a számlálási sebesség, és válasszuk ennek kb. 1/8-át. A mérést maximum 300 s-ig érdemes folytatni. A kapott eredmény a PC-ben elhelyezett analizátor memóriájában hozzáférhető, elmenthető és kinyomtatható.

===Kiértékelés===

A későneutron-intenzitás időbeli csökkenését leíró függvény közelítőleg 6 db exponenciális összegének tekinthető. A kiértékelés célja a felezési idők és a relatív intenzitások meghatározása az adott körülmények között mérhető későneutron-csoportokra. Az eljárás első lépéseként a leghosszabb felezési idejű komponens paramétereit határozzuk meg abban az időtartományban, ahol a rövidebb felezési idejű komponensek már nem észlelhetők, de a mért intenzitások még kiemelkednek a háttérből. Az intenzitások logaritmikus transzformációja után egyenest illesztünk a kiválasztott időintervallum pontjaira. Meredekségének abszolút értéke a leghosszabb felezési idejű csoport bomlási állandóját adja, míg a tengelymetszet a relatív intenzitás logaritmusa.

A meghatározott paraméterekkel megadott exponenciális komponenst levonjuk az eredeti intenzitásokból, ahol így már csak a maradék csoportoktól származó intenzitás időbeli függvénye marad, majd megismételjük az eljárást. A kiértékelésre szánt időintervallumok között célszerű pontokat kihagyni, hogy a levonást követően a véletlen zaj
miatt megjelenő esetleges negatív értékek ne zavarjanak (például a logaritmusképzés miatt). Megjegyezzük, hogy az eljárás csak közelítő pontosságú, mivel az illesztés előtti logaritmikus transzformálás az eltéréseket is transzformálja. A számításoknál referencia időpontnak azt az időpontot kell venni, amikor a minta az aktív zónát elhagyja. (Ennek az időpontnak felel meg a startjel.)

Pontosabb eredmény kapható a teljes adatsoron végrehajtott súlyozott legkisebb négyzetes illesztéssel.

==Urántartalom meghatározása==

A mérés során egy olyan mintában, amelyik ismeretlen mennyiségben tartalmaz természetes izotóp-összetételű urániumot, meg kívánjuk határozni a tömeg százalékában mért uránkoncentrációt. Az ismeretlen összetételű minta teljes tömege 105,5 mg.

===A méréshez szükséges eszközök, anyagok===

* A későneutron-paraméterek meghatározásánál használt berendezés (lásd 3.1. rész)
* analitikai mérleg
* polietilén csőposta besugárzó tokok
* reaktor és besugárzó csőposta
* két darab, a Nemzetközi Atomenergia Ügynökségtől (NAÜ) származó uránstandard


<div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">3. táblázat
Az uránstandardok adatai
</div>

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto; text-align:center; width:500px; height:50px;"

| rowspan="2" | jel
| colspan="2" | természetes izotóp összetételű U-koncentráció a mintában
| a minta teljes tömege (mg) 
|-
| bizonylati koncentrációk szélső értékei (tömeg%)
| U-koncentráció: átlagérték±szórás (tömeg%)
|-
| S-7 || 0,475 ÷ 0,527 || 0,501±0,013 || 93,3
|-
| S-8 || 0,128 ÷ 0,142 || 0,135±0,0035 || 85,1
|}

===A mérés menete===

A mérés a relatív későneutron-intenzitás mérésén alapul, amely az urántartalom gyors, pontos, roncsolásmentes meghatározását teszi lehetővé. A módszer gyorsasága és egyszerű kivitelezhetősége miatt ércminták sorozatelemzésére, érzékenysége folytán pedig az érckutatásban az urán dúsulásainak nyomozására szolgálhat. A mérés célja ismeretlen koncentrációjú minta urántartalmának meghatározása a NAÜ két uránstandardjával történő összehasonlítás alapján, továbbá a mérési hibának, valamint a kimutatási határnak a számítása. Ismeretlen mintaként uránszurokérc tartalmú kőzetet használunk.

A polietilén csőpostatokban az ismeretlen mintából, a standardokéhoz hasonló mennyiséget, kb. 100 mg-ot helyezünk el. A besugárzást 10 kW reaktorteljesítményen végezzük. Az analizátor beállítása megegyezik a korábbival (vö. A mérés menete rész). A mérés alapgondolata: ''a standardokban és az ismeretlen mintában a besugárzott urán bomlásgörbéjét ugyanaz a (2) szerinti függvény írja le, legfeljebb az egyes görbék ${n_\textrm{f}}$ együtthatója térhet el.'' Ebből következik, hogy a lecsengő későneutron-intenzitási görbe bármelyik szakaszának összevetése alkalmas a minták összehasonlítására. Elvileg egy adott időpontbeli intenzitás - akár egy csatorna - is elegendő lenne, de több csatorna összegzésével a kiértékelés alapjául szolgáló impulzusszám relatív szórását csökkenthetjük. Az összegzett csatornák kiválasztásában az alábbi szempontokat vesszük figyelembe.

Mind a standardok, mind az ismeretlen minta tartalmaz oxigént, amelyben a besugárzás során az <sup>17</sup>O(n,p)<sup>17</sup>N magreakció eredményeként 4,1 s felezési idejű neutronemitter mag, <sup>17</sup>N keletkezik. Mivel az oxigén mennyisége mintánként változik (továbbá nem is ismert), a besugárzás után, a mérés megkezdése előtt célszerű 20 s ún. ''hűtési idő''t várni, mialatt az <sup>17</sup>N-től származó neutronok gyakorlatilag eltűnnek, és így a minta és a standardok oxigéntartalmának különbsége nem zavaró. Ebből következik,  hogy a 2. táblázat szerinti 3.÷6. későneutron-csoportok a mérés kezdetére szintén eltűnnek, tehát az urántartalom meghatározását a 22,72 s felezési idejű, elegendően nagy hozamú későneutron-csoportra érdemes alapozni. A hűtési idő növelése egyébként más szempontból is hasznos lehet, mivel rövid hűtési idők esetében az időmérés bizonytalansága (1 s-os felbontás) is nagyobb. A mérési időt úgy kell megválasztani, hogy a mérési idő végén a csökkenő későneutron-intenzitás még mindig jelentősen kiemelkedjék a háttérből. (A javasolt mérési időintervallum 20÷80 s.)

A szórás és a kimutatási határ számításához a háttér mérése is szükséges: üres tok
besugárzásával a kiértékelésre szánt intervallumra vegyük fel a háttér-intenzitás értékeit.

===A mérés kiértékelése===


'''''Egy standard mérése'''''

A kiértékelés célja az ismeretlen minta uránkoncentrációjának meghatározása. Jelölje a mintára, illetve a standardra vonatkozó impulzusszámok összegét rendre ${N_\mathrm{x}}$ és ${N_\mathrm{std}}$:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ N_\mathrm{x} = \sum_{i=20}^{80}n_\mathrm{i,x} \hspace{20mm} N_\mathrm{std} = \sum_{i=20}^{80}n_\mathrm{i,std} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (15) </span>
|}



ahol ${n_\mathrm{i,x}}$ és ${n_\mathrm{i,std}}$ az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintára, illetve a standardra vonatkozóan. Hasonló módon kapjuk az ezekből levonandó hátteret:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ H_{x} = \sum_{i=20}^{80}h_{i,x} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (16) </span>
|}

ahol ${h_\mathrm{i,x}}$ az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintához tartozó háttér mérésekor. Ha a
standardot és az ismeretlen mintát időben egymáshoz közel mérjük, fel lehet tételezni, hogy ez a háttér érvényes a standardra is. Az általánosság kedvéért azonban megengedjük, hogy az utóbbihoz külön háttér, ${H_\mathrm{std}}$ tartozzon. Az ismeretlen koncentrációt azzal a feltételezéssel határozzuk meg, hogy a minta ''fajlagos'' (egységnyi tömegre vonatkozó) beütésszáma a ''C uránkoncentrációval arányos:''

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{N-H}{m} = aC \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (17) </span>
|}

ahol ${m}$ a minta tömege, és ${a}$ valamilyen (ismeretlen) arányossági tényező. Természetesen
a (17) összefüggés nem a ''mért adatokra'', hanem csak azok ''várható értékére'' érvényes.
Viszont a (17) összefüggés lehetővé teszi, hogy az egyik standardra kapott mérési adatok
alapján becslést adjunk az ismeretlen a paraméterre:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \tilde{a} = \frac{N_\mathrm{std}-H_\mathrm{std}}{m_\mathrm{std}-C_\mathrm{std}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (18) </span>
|}

ahol az "${\mathrm{std}}$" index a standardra vonatkozóan mért adatokra utal. ${C_\mathrm{std}}$ a kiválasztott
standard bizonylati koncentrációja (tömeg%, vö. 3. táblázat). Ennek alapján az ismeretlen
minta uránkoncentrációját a

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ C_{x} = \frac{N_{x}-H_{x}}{m_{x}\tilde{a}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (19) </span>
|}

képlettel becsüljük. Ha csak egy standardot mérünk, ez a képlet jelenti a kiértékelés végét. Mielőtt a két standard esetét tárgyalnánk, adjuk meg a (19)-hez tartozó hibaszámítási képleteket.

Tekintve, hogy tömeget (az egyéb hibaforrásokhoz képest) nagy pontossággal tudunk mérni, ${m_\mathrm{x}}$ és ${m_\mathrm{std}}$ mérési hibáját elhanyagoljuk. A háttérrel csökkentett beütésszámok szórásnégyzetét a Poisson-eloszlás alapján becsüljük:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^{2}_{std} \approx N_{std}+H_{std} \hspace{20mm} \acute{e}s \hspace{20mm} \sigma^{2}_{x} \approx N_{x}+H_{x} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (20) </span>
|}

Az ${a}$ paraméter (18) szerint becsült értékének a szórásnégyzete:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^{2}_{a} = {\tilde{a}}^2 \Bigg(\frac{N_{std}+H_{std}}{(N_{std}-H_{std})^2}+\frac{\sigma^2_{C_{std}}}{C^2_{std}}\Bigg) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (21a) </span>
|}

továbbá a (19) szerint számolt uránkoncentrációé:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^{2}_{C_{x}} = C^2_{x} \Bigg(\frac{N_{x}+H_{x}}{(N_{x}-H_{x})^2}+\frac{\sigma^2_{a}}{\tilde{a}^2}\Bigg) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (21b) </span>
|}

A (21) képletek levezetése a matematikai statisztikai elemeiből következik, ezért nem is
részletezzük.


'''''Két standard mérése'''''


Amikor mindkét standardot mérjük, több kiértékelési módszer kínálkozik. A legegyszerűbb az a paraméternek mindkét standard alapján való független becslése:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \tilde{a}_{i} = \frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}C_{i}} \hspace{20mm} (i = 1,2) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (22) </span>
|}

ahol az "${i}$" index az egyes standard mintákra mért adatokat jelöli. Az így kapott értékek
szórásnégyzetét (21a) mintájára becsülhetjük:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^{2}_{ai} = {\tilde{a}_{i}}^2 \Bigg(\frac{N_{i}+H_{i}}{(N_{i}-H_{i})^2}+\frac{\sigma^2_{Ci}}{C^2_{i}}\Bigg) \hspace{20mm} (i = 1,2) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (23) </span>
|}

Az ${a}$ paraméter végső értékét ezek súlyozott átlagolásával becsülhetjük:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \tilde{a} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}\tilde{a}_{i}/\sigma^2_{ai}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}1/\sigma^2_{ai}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (24a) </span>
|}

amelynek a szórásnégyzete:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^2_{a} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}1/\sigma^2_{ai}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (24b) </span>
|}

Kevésbé heurisztikus becslést kapunk, ha a (17) képletre alapozva az ${a}$ paramétert lineáris regresszióval becsüljük. Ez azt jelenti, hogy az ${a}$ paraméter függvényében keressük a

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ Q=\sum_{i=1}^{2}w_{i}\Bigg(\frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}}-aC_{i}\Bigg)^2 \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (25a) </span>
|}

négyzetösszeg minimumát, amelyben a súlyok a mért mennyiségek szórásnégyzeteivel fejezhetők ki:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ w^{-1}_{i} = \frac{N_{i}+H_{i}}{m^2_{i}}+a^2\sigma^2_{C_{i}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (25b) </span>
|}

Ennek a minimumproblémának a megoldása könnyen levezethető:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \tilde{a} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C_{i}\frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C^2_{i}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (26a) </span>
|}

amelynek a szórásnégyzete:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^2_{a} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C^2_{i}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (26b) </span>
|}

Tekintve, hogy a ${w_{i}}$ i súlyok a (25b) képlet szerint függnek az ${a}$ paramétertől, a (26a) képlet alkalmazása ${a}$-ra nézve iterációt igényel.<ref>Ennek az iterációnak a tulajdonságai erősen függnek az egyes szórások értékeitől. Ajánlatos, hogy az Olvasó a konkrét mérés esetében közelebbről ismerkedjen meg vele. Általános tendencia, hogy a (25b) szerinti súlyozás csökkenteni igyekszik a becsült értékét.</ref> A (24a) szerinti módszer ilyen iterációt nem tesz szükségessé.

Akár a (22)÷(24) formulákat, akár a (25)÷(26) formulákat használjuk, az ismeretlen uránkoncentráció meghatározására a (19) és (21b) képleteket kell alkalmaznunk. A két kiértékelési mód egymással egyenértékű. Ajánlatos, hogy az Olvasó ezt bizonyítsa be. Útmutatás: a (23) képletben (de csak ott!) írjunk ${\tilde{a}^2_{i}}$ helyébe ${\tilde{a}^2}$ -t; ezután egyszerű algebrai átalakításokkal beláthatjuk, hogy (24a) és (24b) pontosan ugyanazt adja, mint (26a), illetve (26b). Kérdés: miért elég ennek bizonyítása a két becslés egyenértékűségének a belátásához?

'''''Kimutatási határ'''''

A kimutatási határ definíciójánál az urán mennyiség meghatározás alapjául szolgáló nettó impulzusszám háttérből való szignifikáns kiemelkedését kell biztosítani statisztikai kritériumok alapján, másként megfogalmazva azt kell eldöntenünk, hogy van-e effektus vagy nincs, és ennek a döntésnek a mennyiségi megalapozását kell megadnunk. A döntés során alapvetően kétféle hibát követhetünk el. Az első az úgynevezett elsőfajú hiba melynél azt feltételezzük, hogy a mért összegzett intenzitás egy része a minta urán tartalmától származik, pedig csak a háttér pozitív fluktuációjáról van szó. Másodfajú hibát akkor követünk el, ha mért impulzusszám egy része urántól származik, de úgy gondoljuk hogy ez csak a háttér véletlen fluktuációja.

Az elsőfajú hiba ellen bizonyos megbízhatósági szinten - centrált normális zaj feltételezéssel - , úgy védhetjük magunkat, hogy a hasznos jel komponenstől elvárjuk, hogy a háttér szórását a konfidencia szinttől függő mértékben haladja meg.

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L_{c1} = k_{1}\sigma_{h} = k_{1}\sqrt{N_{h}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
|}

Ahol ${k_{1}}$ az elsőfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinttől függő egyoldali kvantilis.

A másodfajú hiba valószínűsége általában valamilyen konkrét ellenhipotézis formájában fogalmazható meg. Itt ésszerű kiindulás az, hogy feltételezünk egy ${L_{c2}}$ nagyságú nettó effektust, melynek meg kell haladnia az előbb definiált ${L_{c1}}$ szintet olyan mértékben, hogy az alá ${L_{c2}}$ bizonyos szintű negatív fluktuációi révén se kerülhessen. Azaz ${L_{c2}}$ legyen ${L_{c1}}$ plusz ${L_{c2}}$ szórásának megfelelő kvantilissel vett szorzata:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L_{c2} = L_{c1} + k_{2}\sqrt{\sigma^2_{L_{c2}}+\sigma^2_{h}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
|}

Ahol ${k_{2}}$ a másodfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinthez tartozó kvantilis. Ha ${k_{2}}$ = ${k_{1}}$ feltételből indulunk ki (ettől való eltérés a kétféle hibából eredő kockázat alapján lehetséges), akkor a háttérből még szignifikánsan kiemelkedő impulzusszám:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L_{c2} = k^2 + 2L_{c1} = k^2 + 2k\sqrt{N_{h}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
|}

E mennyiséget kell a standardnál mérhető impulzusszámhoz hasonlítani, hogy a urán mennyiségre vonatkozó kimutatási határ értéket megkapjuk.

==Ellenőrző kérdések==

# Mik a késő neutronok?
# Ismertesse a késő neutronok keletkezési mechanizmusát!
# Mik az anyamagok?
# Mik a prompt neutronok?
# Ismertesse a prompt neutronok keletkezési mechanizmusát!
# Mi a különbség a prompt és a későneutronok energia eloszlása között?
# Mi a periódus idő?
# Mi a szerepe a késő neutronoknak a reaktor szabályzásban?
# Ismertesse a késő neutronok mérésénél alkalmazott módszert!
# Milyen csoportokba sorolhatjuk a késő neutronokat és minek alapján?
# Ismertesse az uránkoncentráció meghatározás elvét!

==Irodalom==

# G. R. Keepin: Physics of Nuclear Reactors, Addison-Wesley Publishing Co., Massachusetts (1965)
# G. R. Keepin: Interpretation of Delayed Neutron Phenomena, J. Nucl. Energy, 7, 13 (1958)
# G. R. Keepin, T. F. Wimmet, R. K. Zeigler: Delayed Neutron from Fissionable Isotopes of Uranium, Plutonium and Thorium, Phys. Rev., 107, 1044 (1957)
# Kiss D., Quittner P., Neutronfizika, Akadémiai Kiadó, Budapest 1971.
# Szatmáry Z., Bevezetés a reaktorfizikába, Egyetemi jegyzet (ELTE), 1991.

==Külső hivatkozások==

A Későneutron-paraméterek vizsgálata, uránkoncentráció meghatározása laborjegyzet forrása elérhető a [http://www.reak.bme.hu/uploads/media/08_Kesoneutron_parameterek_meghatarozasa_01.pdf] linken:

==Lábjegyzetek==

A föld pedig lapos!

<references />