Mechanika - Forgó lemez közegellenállással forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Gombkötő]]
[[Kategória:Mechanika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Mechanika - Merev testek I.
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># (**3.2.10.) Egy $a$ és $b$ oldalhosszúságú $m$ tömegű téglalap alakú lemez függőlegesen elhelyezkedő $b$ oldala mentén levő tengely körül forog. A $t=0$ időpontban szögsebessége $\omega_0$. A lemez felületére a közegellenállás folytán erő hat, mely a mozgását akadályozza. Egy felületelemre ható erő arányos a felületelem sebességének négyzetével és a felületelem nagyságával, az arányossági tényező $k$.
#: a) Mekkora a $t$-ik időpillanatban a tengelytől $r$ távolságban elhelyezkedő $\text{dA}$ felületelemre ható, közegellenállásból származó erő?
#: b) Mekkora a lemezre ható nyomaték nagysága?
#: c) Hogyan változik a lemez szöggyorsulása és szögsebessége az idő függvényében?
#: d) Mekkora és hol van a támadáspontja az eredő közegellenállási erőnek?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Mind az eredő erőt mind az eredő forgatónyomatékot a megfelelő erő- és nyomatékelemek felületre vett integráljával lehet meghatározni Az eredő nyomaték az eredő erő és a támadáspont sugarának szorzata.}}{{Végeredmény|content=$$M=bk\omega^2(t)\frac{a^4}4$$ $$\omega(t)=\frac{\omega_0}{1-\frac{a^4\omega_0bkt}{4\theta}}$$ A szöggyorsulás ebből deriválással megkapható. $$F=bk\omega^2a^3/3$$ $$R=\frac3 4 a$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>Az elemi felületre ható közegellenállási erő nagysága $$\text{d}F=kv^2(t)\text{d}A=kr^2\omega^2(t)\text{d}A$$ Mivel hengerkoordinátákban felírva $\text{d}A=\text{d}r\text{d}z$, és a közegellenállási erőelemek minden pontban merőlegesek a lapra, $$\text{d}M=\text{d}F\cdot r,$$ így a teljes forgatónyomaték $$M=\int\int \text{d}M=\int_0^b\int_0^a rkr^2\omega^2\text{d}r\text{d}z=bk\omega^2\int_0^a r^3\rm{d}r=bk\omega^2(t)\frac{a^4}4$$ Ezzel a lemez mozgásegyenlete $$bk\frac{a^4}4\omega^2(t)=\theta\beta(t)=\theta\frac{d\omega(t)}{dt},$$ amely szeparálható $$\frac{a^4bk}{4\theta}dt=\frac{d\omega}{\omega^2}$$ alakba, ezt integrálva $\tilde t=0$-tól $t$-ig kapjuk a következőt: $$\frac{a^4bkt}{4\theta}=\left[-\frac1{\tilde{\omega}^2}\right]_{\omega_0}^{\omega}=\frac1\omega_0-\frac1\omega,$$ ebből $$\frac1\omega=\frac1\omega_0-\frac{a^4bkt}{4\theta}$$ végül $$\omega(t)=\frac1{\frac1\omega_0-\frac{a^4bkt}{4\theta}}=\frac{\omega_0}{1-\frac{a^4\omega_0bkt}{4\theta}}$$ Mivel láthatóan $b$ értéke tetszőleges $a$-hoz képest, $b<<a$absztrakcióval belátható, hogy a lap tehetetlenségé nyomatéka megegyezik egy $a$ hosszúságú, végpontja körül forgatott rúdéval, tehát $\theta=\frac13ma^2$. A fenti megoldásban a közegellenállás fékező hatását az biztosítja, ha $k<0$, ekkor a nevező mindig pozitív, és $\omega$ az idő függvényében csökken $\omega_0$-ról indulva. $\omega(t)$ függvényből a szöggyorsulás időfüggése (amely mindvégig negatív) további idő szerinti deriválással megkapható. Az eredő erő $$F=bk\omega^2a^3/3$$ és a támadáspont $$R=\frac MF=\frac3 4 a$$</wlatex>
</noinclude>