Erőtan I. - 2.1.14 forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]
[[Kategória:Erőtan I.]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Erőtan I.
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Egy $\alpha$ hajlásszögű lejtő tetejéről a $t=0$ időpontban elengedünk egy $m$ tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan $F(t)=kt$ nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok : $\alpha=\,$45°, $m=4 \,\mathrm{kg}$, $k=\sqrt{2} \,\mathrm{\frac{N}{s}}$, $\mu=0,5$, $g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$.   
#: a) Mekkora a test gyorsulása a $t=0$ időpontban?
#: b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében!  Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást?
#: c) Mikor áll meg a test?
#: d) Mekkora és milyen irányú a test gyorsulása a megállás pillanatában?
#: e) Ha a lejtőt $a_{0}=g/2$ gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a $t=0$ időpontban?
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= $$a>1\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$$ }}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>#: a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ÁBRÁn ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges $F_{g1}=F_{g}\cos\alpha$ és egy a lejtővel párhuzamos $F_{g2}=F_{g}\sin\alpha$ komponensre.
ÁBRA
A lejtőre merőleges irányban nem történik mozgás, ezért $$N=F_{g1}\,.$$ A lejtővel párhuzamos irányban a gyorsulást az eredő erő határozza meg. A gyorsulást a lejtő irányában lefelé tekintjük pozitívnak. $$ma(t)=F_{g2}-F(t)-S\,,$$ ahol a súrlódási erőt a nyomóerő segítségével adhatjuk meg: $S=\mu N$. $$ma(t)=mg\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-kt$$ A kezdeti $t=0$ időpillanatban $a(0)=g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. <br><br> Amikor a testre ható erők kiegyenlítik egymást, akkor a gyorsulás zérus. Ez abban a $t_{e}$ időpontban történik meg, amikor $a(t_{e})=0$. Ebből $$t_{e}=\frac{mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=9,81\,\mathrm{s}\,.$$
#: c) A sebesség az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki. $$v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'$$ A kezdeti sebesség 0, így $$v(t)=gt\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-\frac{k}{2m}t^{2}\,.$$ A test abban a $t_{s}$ időpillanatban áll meg, amikor $v(t_{s})=0$. Ebből az egyenletből a $t_{s}=0$ is adódik természetesen, hiszen a kezdeti időpillanatban is $0$ volt a sebesség, de fizikailag most az egyenlet másik megoldása érdekes. $$t_{s}=\frac{2mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=19,62\,\mathrm{s}\,.$$
#: d) A megállás pillanatában a gyorsulás $$a(t_{s})=-g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$$ éppen $-1$-szerese a kezdeti gyorsulásnak. 
#: e) Ha az ÁBRA szerinti elrendezésben megtoljuk a lejtőt, akkor a lejtőz rögzített rendszerben egy tehetetlenségi erőt kell figyelembe vennünk. Az ÁBRÁn a kezdeti időpillanatban ható erőket vázoltuk fel. A gravitációs erő mellett a tehetetlenségi erőt is érdemes felbontani lejtővel párhuzamos és arra merőleges komponensre.
ÁBRA
A mozgásegyenlet a lejtőre merőleges irányban az erők kiegyenlítik egymást. $$N=F_{g}\cos\alpha-F_{t}\sin\alpha=mg\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)\,.$$ A lejtővel párhuzamos irányban $$ma'(0)=F_{g}\sin\alpha-\mu N+F_{t}\cos\alpha=mg\left(\sin\alpha-\mu\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)+\frac{\cos\alpha}{2} \right)$$ $$a'(0)=g\left(\sin\alpha-\mu\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)+\frac{\cos\alpha}{2} \right)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$$ a test gyorsulása a lejtőhöz viszonyítva. Megjegyezzük, hogy az álló rendszerhez képest ehhez a gyorsuláshoz vektoriálisan hozzá kell adni az $a_{0}$ gyorsulást.
</wlatex>
</noinclude>