Egyszerű RL, RC, RLC körök megoldásai forrásának megtekintése

<wlatex>

__TOC__


= Váltakozó áram, váltakozó feszültség =

Mint azt az indukció tárgyalásánál láttuk, az effektus egyik – talán legfontosabb – alkalmazása a váltakozó feszültségű generátor. A generátor által biztosított '''váltakozó feszültség''':

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ U(t) =  U_0 sin(\omega t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.1) </span>
|}

ahol $U_0$ a maximális feszültségérték vagy feszültségamplitúdó, és $\omega$ a körfrekvencia.
Az áramkörök válasza erre a gerjesztésre általában a '''váltakozó áram''':

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I(t) =  I_0 sin(\omega t - \varphi) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.2) </span>
|}

Itt $I_o$ a maximális áramerősség és $\varphi$ azt mutatja, hogy az áram mennyit késik (vagy siet) a feszültséghez képest.

Nézzük meg először, hogy mi történik, ha az 1.1 szerint megadott váltófeszültséget kapcsolunk egy ohmikus terhelésre vagy fogyasztóra, mondjuk egy merülőforralóra (1.1 ábra).

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Vált_áramkör_1.JPG|közép|300px|1.1 ábra]]
|-
| align="center"|1.1 ábra
|}

A huroktörvény alkalmazásával, vagy talán kevésbé elegánsan, az Ohm-törvény segítségével kapjuk az ellenálláson átfolyó áram értékét:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I(t) =  \frac {U_0}{R} sin(\omega t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.3) </span>
|}

Jól látszik, hogy az áramerősség maximális értékét az $U_o /R$ hányados adja, azaz $I_o = U_o /R$ és hogy az áram ”nem késik” a feszültséghez képest. Arra a kérdésre pedig, hogy mekkora teljesítmény disszipálódik az $R$ ellenállású fogyasztón, kétféle választ adhatunk. Először is megadhatjuk a pillanatnyi veszteséget, a Joule-törvény segítségével:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P(t)=I(t)U(t) =  \frac {U^2_0}{R} sin^2(\omega t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.4) </span>
|}

Minthogy az általunk használt váltakozó feszültség frekvenciája 50 Hz, ezért a disszipált teljesítmény időfüggésével – legtöbbször, pl. egy merülőforraló esetében – értelmetlen dolog foglalkozni. Jobban használható adat egy fogyasztó esetében az '''átlagteljesítmény''':

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P_{\acute{a}tl}= \left< I(t)U(t) \right > =  \frac{1}{T} \int\limits_0^T P(t)dt \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.5) </span>
|}

Ebben a konkrét példában:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P_{\acute{a}tl}=   \frac{1}{T} \int\limits_0^T \frac {U^2_0}{R} sin^2(\omega t)dt \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.6) </span>
|}

Nem nehéz megmutatni, hogy:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P_{\acute{a}tl}=    \frac {U^2_0}{2R} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.7) </span>
|}

A kapott eredményt írhatjuk így is:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P_{\acute{a}tl}=    \frac {1}{R} \left( \frac {U_0}{\sqrt {2}} \right)^2 \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.8) </span>
|}

Ennek pedig a következő az olvasata: a fogyasztón disszipált átlagteljesítmény akkorának adódik, mintha egy olyan egyenfeszültség-forrást kapcsoltunk volna a fogyasztóra, amelynek az elektromotoros ereje $U_o/\sqrt{2}$, ezt hívjuk '''effektív feszültség'''nek:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ U_{eff} =  \frac {U_0}{\sqrt {2}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.9) </span>
|}

Hasonló módon bevezethetjük az '''effektív áramerősség'''et is:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I_{eff} =  \frac {I_0}{\sqrt {2}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.10) </span>
|}

Az effektív feszültség és áramerősség segítségével az átlagteljesítmény - ohmikus ellenállás esetén - a szokásos módon számítható:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P_{\acute{a}tl}= RI^2_{eff} = I_{eff} U_{eff} = \frac {U^2_{eff}}{R} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.11) </span>
|}

Mint azt a bemutatott példán láttuk, az ohmikus fogyasztó esetében az áram és a feszültség "fázisban vannak", azaz nincs köztük fáziskülönbség.

Most rugaszkodjunk el az előző egyszerű példától és tegyük fel, hogy a váltakozó feszültség és áram között fáziskülönbség van, azaz:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[U(t) =  U_0 sin(\omega t) \qquad {\rm {\acute{e}}s} \qquad I(t) =  I_0 sin(\omega t - \varphi) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.12) </span>
|}

Számítsuk ki az átlagteljesítményt ebben az esetben:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P_{\acute{a}tl}=   \frac{1}{T} \int\limits_0^T P(t)dt = \frac{1}{T} \int\limits_0^T U_0 I_0 sin(\omega t)sin(\omega t - \varphi)dt \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.13) </span>
|}

Könnyű belátni, hogy:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P_{\acute{a}tl}=  U_{eff} I_{eff} cos(\varphi) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.14) </span>
|}

A váltakozó áram és feszültség időfüggését szemléletesen lehet bemutatni a komplex síkon. Ezt a következőképpen tehetjük meg; legyen, mondjuk a feszültség a következő formában megadva:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ U(t) =  U_0 cos(\omega t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.15) </span>
|}

Ezt át lehet írni a következő alakba:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ U(t) =  Re [ U_0 e^{i\omega t} ] \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.16) </span>
|}

A feszültséget tehát komplex alakban is felvehetjük:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \widetilde{U}(t) =   U_0 e^{i\omega t} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.17) </span>
|}

Ez pedig egy $U_o$ abszolút-értékű vektor, amely $\omega$ körfrekvenciával forog a komplex számsíkon, amint ez az 1.2 ábrán látható.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Fazor_1.JPG|közép|300px|1.2 ábra]]
|-
| align="center"|1.2 ábra
|}

Természetesen az áramot is megadhatjuk komplex alakban (az áram késik a feszültséghez képest):

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \widetilde{I}(t) =   I_0 e^{i\omega t - \varphi} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.18) </span>
|}

Az ábrázolásmód haszna abban rejlik, hogy a komplex síkon egyszerre ábrázolhatjuk a feszültséget és az áramot:

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Fazor_2.JPG|közép|350px|1.3 ábra]]
|-
| align="center"|1.3 ábra
|}

Természetesen az $\widetilde{I}(t)$ és az $\widetilde{U}(t)$ komplex vektorok ω szögsebességgel forognak, miközben $\varphi$ szöget zárnak be egymással. Az $\omega$ szögsebességű forgást azonban könnyen leválaszthatjuk az $\widetilde{I}(t)$ és az $\widetilde{U}(t)$ komplex vektorokról, amennyiben midkét tagot elosztjuk az $e^{i\omega t}$-vel. 

Most nézzük meg, hogy mi történik, ha egy kondenzátorra váltófeszültséget kapcsolunk (1.4 ábra).

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Kapacitív_ell_1.JPG|közép|150px|1.4 ábra]]
|-
| align="center"|1.4 ábra
|}

A huroktörvény alkalmazásával kapjuk a következő összefüggést:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac {Q}{C} =  U_0 sin(\omega t)   \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.19) </span>
|}

Az áram definíciójának felhasználásával:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac {1}{C} \int I(t)dt =  U_0 sin(\omega t)   \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.20) </span>
|}

Mindkét oldalt deriválva kifejezhetjük $I(t)$ – t:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[I(t) = C \omega U_0 cos(\omega t) \qquad {\rm {azaz}} \qquad I(t) = \frac {U_0}{X_C} cos(\omega t) =  \frac {U_0}{X_C} sin(\omega t + \frac {\pi}{2}) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.21) </span>
|}

ahol $X_C$ a '''kapacitív ellenállás''', más néven '''kapacitív reaktancia''':

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ X_C =  \frac {1}{C\omega} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.22) </span>
|}

Az áramot megadó 1.21-ből két dolog is következik; egyrészt a kondenzátor úgy viselkedik, mint egy olyan eszköz, amelynek az ellenállása frekvenciafüggő, másrészt pedig az áram $90^{\circ}$-ot siet a feszültséghez képest (1.5 ábra).

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Fazor_3.JPG|közép|350px|1.5 ábra]]
|-
| align="center"|1.5 ábra
|}

Hasonlóképpen megvizsgálhatjuk azt is, hogy miként reagál egy szolenoid vagy egy toroid (egy olyan eszköz, amelynek önindukciós tényezője L), ha rá váltakozó feszültséget kapcsolunk (1.6 ábra). Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az ohmikus ellenállás elhanyagolható.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:RL_kör_3.JPG|közép|300px|1.6 ábra]]
|-
| align="center"|1.6 ábra
|}

Most is alkalmazhatjuk a huroktörvényt:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ U(t) - L \frac {dI}{dt} = 0 \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.23) </span>
|}

Ezt kissé átrendezhetjük és beírhatjuk a feszültség időfüggését:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac {dI}{dt} = \frac {1}{L} U_0 sin(\omega t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.24) </span>
|}

Az $I(t)$ áramot megkaphatjuk, ha mindkét oldalt integráljuk a $t$ szerint:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I(t) = - \frac {U_0}{L \omega} cos(\omega t) = \frac {U_0}{X_L} sin(\omega t - \frac {\pi}{2}) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.25) </span>
|}

ahol $X_L$ a tekercs '''induktív ellenállása''' (más néven: '''induktív reaktancia'''):

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ X_L =  L\omega \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.26) </span>
|}

Az 1.25 formula egyrészt megadja azt, hogy az induktív ellenállás hogyan függ a frekvenciától, másrészt pedig, hogy az áram fázisban éppen $\pi /_2$ -vel marad le a feszültségtől (1.7 ábra). Ez utóbbi állítást természetesen fordítva is meg lehet fogalmazni, azaz hogy a feszültség siet az áramhoz képest.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Fazor_4.JPG|közép|300px|1.7 ábra]]
|-
| align="center"|1.7 ábra
|}

Most próbáljuk meg alkalmazni a tanult módszert a '''soros RLC kör''' esetén. Először tekintsük a következő ábrán látható elrendezést.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:RLC_1.jpg|közép|200px|1.8 ábra]]
|-
| align="center"|1.8 ábra
|}

A Kirchhhoff-féle huroktörvény alkalmazásával – figyelembe véve, hogy az áramerősség az áramkörben mindenhol ugyanazt az értéket veszi fel egyidejűleg – természetesen felírható egy differenciálegyenlet:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ U(t)-L \frac {dI}{dt} - RI - \frac {Q}{C} = 0 \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.27) </span>
|}

Ezzel most az a probléma, hogy két változó is szerepel benne, de az áram definícióját felhasználva felírható az előbbi egyenlet egyszerűbb alakban is:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L \frac {d^2 Q}{dt^2} + R\frac {dQ}{dt} + \frac {Q}{C} = U(t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.28) </span>
|}

ahol $U(t)=U_o sin(\omega t)$  vagy  $U(t)=U_o cos(\omega t)$. Ez az egyenlet már megoldható, de mi most egyelőre nem így keressük a megoldást.

Használjuk fel az előzőekben tanultakat. Láttuk, hogy az áramhoz képest a kapacitív ellenálláson a feszültség késik $90^{\circ}$-ot és annak maximális értéke: $U_C = X_C I_o$. Azt is megmutattuk, hogy az induktív ellenálláson a feszültség siet $90^{\circ}$-ot és maximális értéke $U_L = X_L I_o$. Az ohmikus ellenálláson mérhető feszültség fázisban van az árammal és maximális értéke: $U_R = RI_o$. Most csak annyit kell tennünk, hogy a komplex számsíkon ábrázoljuk a valós tengelyen felvett $U_R$ feszültséggel együtt a másik két feszültségértéket az említett fázistolásokkal, és venni kell ezek vektori eredőjét, hiszen a huroktörvény alapján:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \widetilde{U}_R + \widetilde{U}_L + \widetilde{U}_C  = \widetilde{U}(t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.29) </span>
|}

Ugyanez a komplex síkon ábrázolva:

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Fazor_5_jav.JPG|közép|300px|1.9 ábra]]
|-
| align="center"|1.9 ábra
|}

Az ábráról leolvasható, hogy az áram a feszültséghez képest $\varphi$ fázissal késik. Elemi geometriai megfontolások alapján:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ tg \varphi  = \frac {\left|\widetilde{U}_L \right| - \left|\widetilde{U}_C \right| }{\left|\widetilde{U}_R \right|} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.30) </span>
|}

A második lépésben $I_o$ – val egyszerűsíthetünk. Most szükséges bevezetni egy új fogalmat a feszültség és az áram hányadosára, hiszen most már ez is egy komplex mennyiség lesz. Ez az új mennyiség a komplex impedancia, és jele: $\widetilde{Z}$ . Amennyiben $I_o$ – val elosztjuk a 1.9 ábrán szereplő összes tagot, felrajzolható a soros '''RLC kör fazor ábrája''':

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Fazor_6.JPG|közép|300px|1.10 ábra]]
|-
| align="center"|1.10 ábra
|}

Erről az ábráról egyrészt leolvasható, hogy mekkora az áram fáziskésése a feszültséghez képest. Másrészt pedig meghatározható az impedancia abszolút értéke, amely megadja a maximális feszültség és maximális áramerősség hányadosát, vagy – ami ugyanaz – az effektív feszültség és effektív áram hányadosának értékét. A komplex impedancia tehát:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \widetilde{Z} = R + i(X_L - X_C) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.31) </span>
|}

és annak abszolút értéke:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \left|\widetilde{Z} \right| = Z = \frac {U_0}{I_0} = \sqrt {R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt {R^2 + \left( L\omega - \frac {1}{C\omega} \right)^2} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.32) </span>
|}

Az áramkörben kialakuló áramerősség maximális értéke - és természetesen az effektív áramerősség is - tehát frekvenciafüggést mutat:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I_{eff} = \frac {U_{eff}}{Z(\omega)} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.33) </span>
|}

Az impedancia értékét megadó 1.32-ből következik, hogy abban az esetben lesz maximális az áramerősség, ha $X_L = X_C$, azaz a váltakozó feszültség - és az áram - körfrekvenciája:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \omega_o = \frac {1}{\sqrt{CL}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.34) </span>
|}

ahol $\omega_o$ a '''soros RLC kör rezonanciafrekvenciája'''. Az áram rezonanciagörbéjét mutatja a következő ábra:

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:RLC_rezonancia.jpg|közép|300px|1.10 ábra]]
|-
| align="center"|1.11 ábra
|}

Az 1.32 formulából következik az is, hogy az áramerősség maximális értékét rezonancia esetén az $R$ ellenállás értéke határozza meg; ezt jól mutatják a 1.11 ábra rezonanciagörbéi. Az 1.30-ból pedig közvetlenül adódik, hogy a rezonancia megvalósulásánál az áram és a feszültség között nincs fáziskülönbség, valamint ilyenkor maximális az áram amplitúdója.

A 1.10 ábráról az is leolvasható, hogy:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ R = Z cos (\varphi) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.35) </span>
|}

Most már viszonylag egyszerűen megadhatjuk az előző két összefüggés felhasználásával a soros RLC körön disszipált átlagteljesítményt:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ P_{\acute{a}tl}= U_{eff}I_{eff}cos(\varphi) = U_{eff}I_{eff} \frac{R}{Z} = R I^2_{eff} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.36) </span>
|}

Ez az eredmény rávilágít arra a tényre is, hogy a veszteséget az ellenállás okozza. Az induktivitásra és a kapacitásra számítható átlagteljesítmény – ideális esetben – zérus, hiszen a rájuk eső feszültség és az átfolyó áram között $90^{\circ}$ – os fáziskülönbség van. 
A rezgőkört szokás még jellemezni az úgynevezett '''jósági tényező''' segítségével is. Ez a paraméter azt adja meg, hogy milyen arányban áll a rendszer energiája az egy periódus alatt történő energiaveszteséggel a rezonanciafrekvencián:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ Q = 2 \pi \frac {\rm {a\, rendszerben \, t\acute {a} rolt \, energia}}{\rm {egy \, peri\acute{o}dus \, alatt \, disszip\acute{a}lt \, energia}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.37) </span>
|}

Könnyen kiszámítható a definíció alapján, hogy soros rezgőkör esetében:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ Q =  \frac {L\omega_o}{R} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.38) </span>
|}

A csillapított kényszerrezgés dinamikája és az RLC kör feszültség- valamint áramviszonyai hasonlóképpen tárgyalhatók. Tegyük fel, hogy egy Hooke-törvényt követő rugó végére kötünk egy $m$ tömegű testet, amelyre egyrészt – a rugóerőn kívül – hat az $F(t) = F_ocos(\omega t)$ kényszererő, másrészt pedig a sebességgel arányos nagyságú, de azzal ellentétes irányú $F_s = -\lambda v$ súrlódási erő (1.12 ábra).

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Csill_kényszerrezgés_1.JPG|közép|300px|1.12 ábra]]
|-
| align="center"|1.12 ábra
|}

A mozgásegyenletet a következő formában adhatjuk tehát meg:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ ma = -kx-\lambda v + F_o cos(\omega t)  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.39) </span>
|}

Elosztjuk mindkét oldalt a tömeggel és bevezetjük a $\beta = \lambda/2m$ új paramétert, így kapjuk a jól ismert egyenletet:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega^2_o x  = f_o cos(\omega t)  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.40) </span>
|}

ahol természetesen $f_o = F_o/m$ és $\omega_o$ az oszcillátor saját (kör)frekvenciája. A differenciálegyenlet szembetűnő hasonlóságot mutat a 1.28 formulával; ebből következően a két egyenlet megoldása matematikailag hasonló. Az 1.40 egyenlet jobb oldalán álló tag írható a következő formába is: $f_o cos(\omega t) = f_o Re \left[ exp(i\omega t) \right]$ . Most már megtehetjük, hogy a változót is komplexnek vesszük, de közben észben tartjuk, hogy csak a valós értéknek van fizikai jelentése. Ezután a megoldást a következő alakban keressük:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x (t)  = A e^{i\omega t}  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.41) </span>
|}

Helyettesítsünk be 1.40-be:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \left(\omega^2_o - \omega^2 + 2i\beta \omega \right) \widetilde {A} e^{i\omega t}  = f_o e^{i\omega t}  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.42) </span>
|}

A komplex amplitúdó könnyen kifejezhető:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \widetilde {A} = \frac {f_o}{\left(\omega^2_o - \omega^2 + 2i\beta \omega \right)} = A e^{i\varphi}  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.43) </span>
|}

ahol a rezgés $A$ amplitúdója és $\varphi$ fázisa a következőféleképpen számítható:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ A = \frac {f_o}{\sqrt{\left(\omega^2_o - \omega^2 \right)^2 + 4\beta^2 \omega^2 }}  \qquad {\rm {\acute{e}}s} \qquad tg(\varphi) =  \frac {2\beta \omega}{\omega^2_o - \omega^2} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.44) </span>
|}

A mozgásegyenlet megoldása tehát:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t) = A cos ( \omega t - \varphi) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.45) </span>
|}

Hasonlóképpen a soros RLC kör esetében is követhetnénk az itt bemutatott módszert, és akkor $U(t) =  U_0 cos(\omega t)$ gerjesztés esetén írhatnánk, hogy:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I(t) = I_o cos ( \omega t - \varphi) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.46) </span>
|}

ahol a maximális áramerősség, azaz az áram-amplitúdó:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I_o = \frac {U_o}{\sqrt{R^2 + \left( L\omega - \frac {1}{C\omega} \right)^2}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.47) </span>
|}

Könnyű észrevenni a hasonlóságot 1.44 első formulája és 1.47 között. Azonban nemcsak a megoldás hasonló, hanem a levonható következtetések is; mindkét esetben fellép a rezonancia jelensége és a fáziskésés frekvenciafüggése is egy hasonló függvénnyel írható le, sőt még a jósági tényező meghatározása is ugyanazon definíció alapján történik. Meg lehet mutatni mindkét esetben, hogy ha a csillapítás nem erős, azaz például $\beta << \omega _o$ esetén, akkor a rezonanciagörbe félérték-szélessége arányos a csillapítással, vagyis $\beta$ -val illetve az $R$ ellenállással. 
Láttuk, hogy a fazorábra segítségével hogyan adható meg a soros RLC kör impedanciája valamit a feszültség és az áram közötti fázis.

A módszer jól használható a párhuzamos RLC kör esetében is.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Párh_RLC.JPG|közép|200px|1.13 ábra]]
|-
| align="center"|1.13 ábra
|}

Mint az 1.13 ábrán jól látszik, most a feszültség lesz mindegyik áramköri elemen ugyanaz minden pillanatban. Alkalmazhatjuk a csomóponti törvényt, azaz $I = I_R + I_C + I_L$, azaz ugyanezt komplex alakban felírva és a feszültséggel osztva:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac {1}{\widetilde {Z}} = \frac {1}{R} + \frac {1}{iL\omega} - \frac {C\omega}{i} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.48) </span>
|}

Az ehhez tartozó fazorábra:

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Fazor_7.JPG|közép|300px|1.13 ábra]]
|-
| align="center"|1.13 ábra
|}

Innen leolvasható, hogy az áram és a feszültség közötti fázis meghatározható a következő összefüggésből:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ tg(\varphi) = \frac {\frac {1}{L\omega} - C\omega}{\frac {1}{R}}  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.49) </span>
|}

ahol az áram:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I(t) = \frac {U_o}{\widetilde {Z}} sin (\omega t - \varphi)  \qquad {\rm {\acute{e}}s} \qquad I_{eff} =  \frac {U_{eff}}{\left|\widetilde{Z} \right|} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (1.50) </span>
|}

alakban adható meg.



= Lineáris rendszer állapotváltozós leírása időtartományban =

Ezidáig arra láthattunk példákat, hogy mi történik, ha egy RC, egy RL, egy soros RLC kör vagy az azzal analóg gerjesztett csillapított oszcillátor hogyan reagál az egyszerű szinuszos gerjesztésre. A mérnöki gyakorlatban azonban gyakran előfordul, hogy a gerjesztés egy aperiodikus jel. Annak vizsgálata, hogy ebben az általános esetben mi történik, igen fontos, hiszen a különböző áramkörökkel, oszcillátorral megvalósított rendszer egy általános leírását kaphatjuk meg. A matematikai leírás természetesen nem csak elméleti szempontból fontos, hanem számos gyakorlati haszna is van. A mérnöki gyakorlatban is használt eljárások közül talán a legfontosabb a zajszűrés, de még számos érdekes probléma megoldható az alábbiakban vázlatosan bevezetésre kerülő módszerek alkalmazásával, mint például az alakfelismerés, homályos képek ”visszaállítása”, 3D-s képfeldolgozás, stb.
Az általunk idáig vizsgált áramkörök és oszcillátorok úgynevezett lineáris rendszerek. Ez azt jelenti, hogy például "kétszer erősebb" (kétszeres amplitúdójú) gerjesztésre kétszer nagyobb választ ad a rendszer, azaz a bejövő jel (input) és a rendszer válasza között lineáris kapcsolat áll fenn. Arról, hogy az input és az output közötti kapcsolat nemlineáris szinte mindenkinek van némi tapasztalata: amennyiben egy rádiónak vagy akár egy HiFi berendezésnek (erősítő, hangfal, stb.) a hangerő szabályozóját maximálisra állítjuk, akkor a legtöbb esetben igen erős hangminőség romlás észlelhető. Erre általában azt mondjuk, hogy az eszköz torzít. Mit is jelent ez egyszerűen modellezve? Tegyük fel, hogy van két HiFi berendezésünk; az egyiken a jelátvitel lineáris, míg a másikon nem, ez utóbbi esetben érezzük azt, hogy a hang nem tiszta. Mindezt igen szemléletesen mutatja a következő ábra. 

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Input_output.jpg|közép|400px|2.1 ábra]]
|-
| align="center"|2.1 ábra
|}

Mindkét esetben egy tiszta szinuszos bemenő jel volt az input, azonban a nemlineáris rendszer válasza, amit mi torzítottnak hallunk, tartalmazza az egyik felharmonikust is. A bemutatott egyszerű példa is rávilágít arra, hogy érdemes lehet a jelátvitel problémáját a '''frekvencia-tartományban''' vizsgálni. Ez három lépésben valósítható meg. Először meg kell határozni a gerjesztés (vagy input) különböző frekvenciájú komponenseinek amplitúdóját és fázisát, vagyis fel kell venni a spektrumát. A második lépésben valahogyan meg kell adni, hogy a különböző komponensek hogyan mennek át a rendszeren, azaz miként változik az amplitúdójuk és a fázisuk. Végül a szuperpozíció elvét alkalmazva, a komponensek összegeként előáll a rendszer válasza. A következőkben azt fogjuk megmutatni, hogy ez a három lépés hogyan valósítható meg, és néhány példát látunk majd az alkalmazásukra is. A most körvonalazott módszer segítségével – mint azt majd látni fogjuk – ráadásul lineáris differenciálegyenletek megoldása is viszonylag könnyen megadható.


== Periódikus jel Fourier sora ==

Egy periodikus jel megadható a Fourier sorával, illetve közelíthető a Fourier sor véges tagjának összegével. Legyen a periodikus jel $x(t)$ és a periódusa $T$. A $t = 0$ időpontot válasszuk meg úgy, hogy éppen egy ciklus közepére essen, azaz az ismétlődő jelsorozat egy periódusa tartson $–T/2$ -től $+T/2$-ig (lásd a 2.1.1 ábrát).

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Periodikus_jel.jpg|közép|400px|2.1.1 ábra]]
|-
| align="center"|2.1.1 ábra
|}

A jel periódusából adódó legalacsonyabb frekvencia $f_o = 1/T$ , a felharmonikusok: $f_k = kf_o$ és természetesen $\omega_k = k\omega_o$, ahol $\omega_o = 2\pi f_o$. Az $x(t)$ periodikus jel tehát megadható a (már tanult) Fourier sor segítségével:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t) = \sum^{\infty}_{i=1} a_k cos (\omega_k t)+ \sum^{\infty}_{i=1} b_k sin (\omega_k t) + a_0\]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.1) </span>
|}

Az $a_k$ és $b_k$ Fourier együtthatókat a következőképen számíthatjuk ki:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ a_0 = \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} x(t)dt \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.2) </span>
|}

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ a_k = \frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} x(t)cos(\omega_k t)dt \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.3) </span>
|}

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ b_k = \frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} x(t)sin(\omega_k t)dt \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.4) </span>
|}

ahol k = 1, 2, 3, …

Természetesen vannak feltételek, melyek teljesülése szükséges ahhoz, hogy az $x(t)$ függvény megadható legyen a Fourier sorával, például legyen a tartományon Riemann integrálható, stb. Most ezekkel a feltételekkel nem foglalkozunk; fogadjuk el, hogy az általunk vizsgált függvények "jól viselkedő függvények" (folytonosak, deriválhatók, végesek, stb.), amelyek esetében nem lép fel probléma az együtthatók kiszámításánál.
Példaként tekintsünk egy periodikus négyszögjelet, pontosabban ennek egy periódusát:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t)= \begin{cases} -1 &ha \quad -\frac{T}{2}<t<0 \\ 0 &ha \quad t= 0 \\ +1 &ha \quad 0<t<\frac{T}{2}  \end{cases} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.5) </span>
|}

A Fourier együtthatók kiszámítása után kapjuk, hogy

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t) = \frac{4}{\pi}\left(sin(\omega t)+ \frac {1}{3}sin(3\omega t) + \frac {1}{5}sin(5\omega t)+...\right) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.6) </span>
|}

Az eredményt jól mutatja a 2.1.2 ábra, ahol a sor első három tagjának összege látszik.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Négyszögjel_2.png|közép|200px|2.1.2 ábra]]
|-
| align="center"|2.1.2 ábra
|}

Amennyiben a $sin(\omega_k t)$ és a $cos(\omega_k t)$ tagokat az Euler összefüggés segítségével átírjuk exponenciális alakra, akkor – mint az egyszerűen belátható – az $x(t)$ Fourier sora megadható egy általánosabb formában is:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t) = \sum^{\infty}_{k=1} c_k e^{i\omega_k t}+ \sum^{\infty}_{k=1} c_{-k} e^{-i\omega_k t} + a_0\]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.7) </span>
|}

Az általánosításban még tovább mehetünk:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t) = \sum^{\infty}_{-\infty} c_k e^{i\omega_k t} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.1.8) </span>
|}

A Fourier együtthatókat azonban nemcsak kiszámítani lehet, hanem megfelelő szűrőkkel az együtthatók értékét, vagy egymáshoz való arányukat is megváltoztathatjuk. Egy sávszűrővel könnyen elnyomható a zaj, ha az valamely frekvencia-tartományban jelentkezik, amely a jel spektrumán kívül jelentkezik. Egy koncertfelvételt például véletlenszerűen megzavaró vonatfütty hangja szinte teljesen eltüntethető. Az említett módszerrel azonban nemcsak a zajszűrés oldható meg, hanem akár a dobpergés vagy a hegedű hangja is kiemelhető egy együttes zenéjéből. Lássunk erre egy szemléletes példát! A következő ábrán egy gitár megpendített húrjának rezgési spektruma látható.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Gitár_spektrum_1.jpg|közép|400px|2.1.3 ábra]]
|-
| align="center"|2.1.3 ábra
|}

Ha azonban a gitár húrját megérintjük a hosszának 1/3 – ánál, vagyis egy "természetes sávszűrő"-t alkalmazunk, a spektrum is természetesen ennek megfelelően változni fog (az alapharmonikus frekvenciája most más érték):

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Gitár_spektrum_2.jpg|közép|400px|2.1.4 ábra]]
|-
| align="center"|2.1.4 ábra
|}



== Aperiodikus jel spektruma ==

Amennyiben egy lineáris rendszer inputja, illetve gerjesztése egy aperiodikus jel, akkor a Fourier-sor már nem alkalmazható arra, hogy áttérjünk a frekvencia-tartományba, hiszen a jelet nem lehet előállítani egy alapharmonikus és felharmonikusai összegével; már az alapharmonikus meghatározása sem lehetséges. Az aperiodikus jel spektrumának kiszámításához a $T$ periódusidőt minden határon túl növeljük, ennek következtében a két szomszédos harmonikus közötti távolság, azaz $\Delta f$ (ami eredetileg $1/T$-vel volt egyenlő) egyre kisebb lesz, azaz $\Delta f \rightarrow 0$. Mindez azt sugallja, hogy a 2.1.14 kifejezésben összegzés helyett integrálnunk kell. Az általánosítás tehát a következő: az $f(t)$ aperiodikus jel [http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform Fourier transzformáltja] az $F(\omega)$ komplex függvény (komplex, mert minden frekvencia-komponenshez tartozik egy fázis):

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.1) </span>
|}

Az $F(\omega)$-ból pedig az '''inverz Fourier transzformáció''' segítségével kaphatjuk meg időtartományban az $f(t)$ jelet:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ f(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{i\omega t}dt \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.2) </span>
|}

A módszer egyik nagy előnye a már említett zajszűrés. (Például zajos, szemcsés képek is megtisztíthatók bizonyos frekvencia-tartományok elnyomásával; ekkor kettős integrált és $\omega_x$, $\omega_y$ komponenseket kell használni áttérve '''2D'''-re.) 
Ahhoz, hogy egy másik, igen fontos alkalmazási lehetőséget is megmutathassunk, tekintsünk egy egyszerű mechanikai példát. Legyen egy csillapítatlan harmonikus oszcillátor eredetileg nyugalomban $(t < 0 s)$, de a $t = 0 s$ – ban bekapcsolunk egy $F_o$ állandó erőt. Ezt a gerjesztést másféleképpen is jelölhetjük: $F_o1(t)$, ahol $1(t)$ az ún. egységugrás függvény:

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Egységugrás_2.JPG|közép|200px|2.2.1 ábra]]
|-
| align="center"|2.2.1 ábra
|}

Az oszcillátor mozgásegyenlete:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ m\ddot{x} + Dx  = F_o 1(t)  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.3) </span>
|}

Könnyen meggyőződhetünk róla és szemléletesen is egyszerű belátni, hogy a megoldás (jelöljük ezt most $x_1(t)$-vel):

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x_1 (t) = \frac{F_o}{D}\left[1-cos(\omega_o t)\right]  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.4) </span>
|}

ahol természetesen:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \omega_o = \sqrt {\frac{D}{m}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.5) </span>
|}

Ezután szeretnénk meghatározni, hogy egy erőlökésre hogyan reagál a rendszer, vagyis a csillapítatlan harmonikus oszcillátor. Az erőlökés $\tau$ ideig tart és ezen időtartam alatt állandó $F_o$ erő hat:

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Erőlökés_1.JPG|közép|300px|2.2.2 ábra]]
|-
| align="center"|2.2.2 ábra
|}

Az erőlökést megadó $F(t)$ függvény – mint az a 2.2.3 ábrán látható – összerakható két egységugrás függvény összegeként:

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Erőlökés_2.JPG|közép|550px|2.2.3 ábra]]
|-
| align="center"|2.2.3 ábra
|}

A második $-F_o$ erőt t = $\tau$  időpontban kapcsoljuk be. Most vizsgáljuk meg azt, hogy mi történne, ha az eredetileg nyugalomban lévő oszcillátorra csak az $F_2 (t)=-F_o 1(1-\tau)$ erő hatna. A mozgásegyenlet megoldása hasonló 2.2.4 - hez, de most figyelembe kell venni, hogy a $-F_o$ erő csak a t = $\tau$  időpontban kezd el hatni:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x_2 (t) = - \frac{F_o}{D}\left[1-cos(\omega_o (t-\tau))\right]  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.6) </span>
|}

Láttuk, hogy a $\tau$ ideig tartó erőlökés előáll az $F_1 (t)$ és $F_2 (t)$ összegeként. Minthogy a csillapítatlan oszcillátor lineáris rendszer és $F(t) = F_1(t)+ F_2(t)$, ezért az erőlökésre, mint gerjesztésre a rendszer az $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$ megoldással "válaszol":

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t) = \frac{F_o}{D}\left[1-cos(\omega_o t)\right] - \frac{F_o}{D}\left[1-cos(\omega_o (t-\tau))\right]  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.7) </span>
|}

A zárójeleket felbontva egyszerűbb alakot nyerhetünk:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t) = \frac{F_o}{D}\left[cos(\omega_o t)cos(\omega_o \tau) + sin(\omega_o t)sin(\omega_o \tau) - cos(\omega_o t) \right]  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.8) </span>
|}

Ezután végezzünk el egy előremutató általánosítást: tegyük fel, hogy az erőlökés pillanatszerű. Az erőlökés pillanatszerűsége gyakorlati szempontból azt jelenti, hogy $\tau$ << T, ahol T az oszcillátor periódusideje. Most tartson az erőhatás egyre rövidebb ideig, azaz $\tau \rightarrow 0$, de közben az erőlökés nagysága - vagyis az oszcillátornak átadott impulzus: $\Delta p=F_o \tau$ - maradjon állandó. Ebből azonnal adódik, hogy $F_o$ minden határon túl tart a $\infty$ - be. Ez a speciális erőlökés a $\Delta p$ - vel megszorzott Dirac-delta, amiről tudjuk, hogy:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)dt = 1  \qquad {\rm {\acute{e}}s} \qquad \delta(t) = 0 \qquad {\rm ha} \qquad t \neq 0 \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.9) </span>
|}

A 2.2.8 formulából megkaphatjuk a választ arra a kérdésre, hogy miként reagál a csillapítatlan harmonikus oszcillátor egy pillanatnyi erőlökésre, ha elvégezzük a $\tau \rightarrow 0$ közelítést. Könnyen belátható, hogy a $\tau \rightarrow 0$ esetben:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t) = \frac{F_o \tau \omega_o}{D}sin(\omega_o t)= \frac{\Delta p \omega_o}{D}sin(\omega_o t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.10) </span>
|}

Kérdés, hogy mi történik akkor, ha a pillanatnyi erőlökés nem a $t = 0$ , hanem valamely $t’$ időpontban történik. A válasz egyszerű; $x(t) =0$ ha $t < t’$ , viszont a $t > t’$ esetén:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t) = \frac{F_o \tau \omega_o}{D}sin \left[\omega_o (t-t')\right] \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.11) </span>
|}

Most már elég sokat tudunk ahhoz, hogy megvizsgálhassuk egy általános $F(t)$ gerjesztés problémáját. Tegyük fel tehát, hogy a csillapítatlan oszcillátorra hat egy $F(t)$ erő (vagy erőlökés):

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Gerjesztés_2.JPG|közép|400px|2.2.4 ábra]]
|-
| align="center"|2.2.4 ábra
|}

A véges ideig ható $F(t)$ erőt felbonthatjuk "pillanatszerű" erőlökések összegére (2.2.5 ábra).

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Gerjesztés_3.JPG|közép|400px|2.2.5 ábra]]
|-
| align="center"|2.2.5 ábra
|}

A rendszernek a ráható $t_1$, $t_2$, $t_3$, stb. időpontokban bekövetkező erőlökésekre adott válaszait össze kell adni, hiszen egy lineáris rendszer esetén alkalmazható a szuperpozíció, tehát:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t) = \frac{F_1 \tau \omega_o}{D}sin \left[\omega_o (t-t_1)\right]+ \frac{F_2 \tau \omega_o}{D}sin \left[\omega_o (t-t_2)\right]+...= \frac{\omega_o}{D}\sum^{n}_{i=1} F_n sin \left[\omega_o (t-t_n)\Delta t \right]  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.12) </span>
|}

Ha ránézünk az összegzésre és tudjuk, hogy $\Delta t \rightarrow 0$, akkor az $x(t)$ megadható egy könnyebben kezelhető formában is:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t)= \frac{\omega_o}{D}\int\limits_{-\infty}^{t}F(t')sin \left[\omega_o (t-t')\right] dt'  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.13) </span>
|}

Ezt a formulát írhatjuk egy másik – jóval általánosabb – alakba is:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ x(t)= \int\limits_{-\infty}^{t}F(t')G(t-t') dt'  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.14) </span>
|}

ahol a $G(t)$ az ún. '''Green-függvény''', amelynek jelentése a következő: megadja, hogy a lineáris rendszer milyen választ ad egy $t = 0$ időpontban bekövetkezett $\delta (t)$ gerjesztésre. Most már jól látszik tehát, hogy egy általános $F(t)$ gerjesztésre úgy számíthatjuk ki a rendszer $x(t)$ válaszát, hogy először meghatározzuk a rendszer Green-függvényét, majd a (2.2.14) integrál segítségével kiszámítjuk $x(t)$-t. A módszer sok esetben jól működik, azonban a (2.2.14) integrál (vagyis az $F(t)$ és a $G(t)$ '''konvolúciója''') kiszámítása néha nem egyszerű. Ennek a problémának az orvoslására felhasználhatunk egy igen gyakran alkalmazott tételt:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ F(f {*} g)= F(f)F(g)  \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.15) </span>
|}

ahol ${*}$ az $f$ és a $g$ függvény konvolúcióját jelenti, az $F$ pedig a Fourier transzformációt. Ha tehát a két függvény konvolúciójának kiszámítása nehézkesen megy, akkor áttérünk frekvencia-tartományba és egyszerűen összeszorozzuk a két függvény Fourier transzformáltját, majd egy inverz Fourier-transzformációval visszatérünk az időtartományba és megkapjuk a rendszer gerjesztésre adott válaszát. Mindezt egy egyszerű ábrán sematikusan is összefoglalhatjuk:

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Séma_1.JPG|közép|450px|2.2.6 ábra]]
|-
| align="center"|2.2.6 ábra
|}

Az itt bemutatott módszer természetesen nem csak oszcillátorra, hanem lineáris áramkörökre, hálózatokra is alkalmazható. Az eljárás azonban csak abban az esetben használható, ha a Fourier transzformáció elvégezhető, azaz négyzetesen vagy abszolút értékre integrálható függvényekkel megadott gerjesztések lépnek fel. A mérnöki gyakorlatban azonban előfordul, hogy modellezni kell a bekapcsolási (vagy kisütés) jelenségeket is, ahol az említett feltételek nem teljesülnek. 


== Laplace transzformáció ==

A rendszertechnikai gyakorlatban előfordulnak olyan gerjesztések is, amelyek Fourier-transzformáltját nem lehet megadni. Ezeket olyan függvények írják le, amelyek nem négyzetesen integrálhatók ill. nem abszolút integrálhatók; ilyenek például a egységugrás függvény, az exponenciális függvény, az egységnyi sebességugrás függvény, stb.
Az előző fejezetben tanult módszer azonban a Fourier-transzformáció egy kis módosításával az említett gerjesztések esetén is használható. Az ötlet a következő: szorozzuk be a nem integrálható függvényeket a $t \rightarrow 0$ esetben gyorsan lecsengő $exp(- \sigma t)$ – vel; ekkor elvárásaink szerint már egy konvergens megoldást kapunk a Fourier integrálra, amennyiben azt csak a t ≥ 0 tartományon számítjuk ki. A nem integrálható $f(t)$ jel transzformáltját az említett módosítással a következőképpen kapjuk:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ F(s)= \int\limits_{0}^{+\infty} f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\omega t}dt = \int\limits_{0}^{+\infty} f(t)e^{-(\sigma + i\omega)t}dt = \int\limits_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st}dt \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.1) </span>
|}

Az eljárást Laplace francia matematikus dolgozta ki, az ő tiszteletére a javított transzformációs formulát Laplace-transzformációnak hívják és jelölése:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L \left( f(t)\right ) = F(s)= \int\limits_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st}dt \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.2) </span>
|}

A következő táblázatban összefoglaltuk néhány függvény Laplace-transzformáltját:


{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
! Idő-tartományban: f(t)
! Laplace-transzformáltja: L(f(t))=F(s)
|-
| align="center" | $t$
| align="center" | $\frac {1}{s^2}$
|-
| align="center" | $\delta (t)$
| align="center" | $1$
|-
| align="center" | $\delta (t-t')$
| align="center" | $e^{-st'}$
|-
| align="center" | $1(t)$
| align="center" | $\frac {1}{s}$
|-
| align="center" | $1(t-t')$
| align="center" | $\frac {1}{s}e^{-st'}$
|-
| align="center" | $e^{-at}$
| align="center" | $\frac {1}{s+a}$
|-
| align="center" | $1-e^{-t/T}$
| align="center" | $\frac {1}{s(Ts+1)}$
|-
| align="center" | $\frac{1}{T^2}te^{-t/T}$
| align="center" | $\frac {1}{(Ts+1)^2}$
|-
| align="center" | $\frac{t^n}{n!}$
| align="center" | $\frac {1}{s^{n+1}}$
|-
| align="center" | $sin(\omega t)$
| align="center" | $\frac {\omega}{s^2+{\omega}^2}$
|-
| align="center" | $cos(\omega t)$
| align="center" | $\frac {s}{s^2+{\omega}^2}$
|-
|}


Van még néhány – az integrálszámítás módszereivel könnyen bizonyítható – szabály, amelyeket érdemes megemlíteni:

1. Linearitás: ha $c = const.$ :

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L(cf(t)) = cL(f(t)) = cF(s)  \qquad {\rm {\acute{e}}s} \qquad L\left[ f_1 (t) + f_2 (t)\right] = L(f_1 (t))+ L(f_2 (t)) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.3) </span>
|}

2. Eltolás:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L(f(t-\tau)) = e^{-\tau s}L(f(t))=e^{-\tau s}F(s) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.4) </span>
|}

3. Hasonlóság:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L(f(at) = \frac {1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.5) </span>
|}

4. Differenciálás:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L(f'(t)) = sF(s) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.6) </span>
|}

(a kezdeti feltételeket zérusnak választottuk)

5. Integrálás:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L\left( \int\limits_{0}^{t} f(t)dt \right) = \frac {1}{s}F(s) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.7) </span>
|}

(a kezdeti feltételeket zérusnak választottuk)

Megjegyzés: az [http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Laplace_transform inverz-Laplace-transzformációt] végezhetjük úgy is, hogy a fenti táblázatot visszafelé olvassuk.

Problémák megoldására a 2.2.6 ábrán látható sémához némileg hasonló módszert követhetünk. A követendő lépések: 1. felírjuk a probléma differenciálegyenletét… 2. végrehajtjuk a Laplace-transzformációt… 3. elvégezzük a szükséges algebrai átalakításokat… 4. inverz-Laplace-transzformációval kapjuk a probléma megoldását. Mindez egy sémában összefoglalva:

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Séma_Laplace.JPG|közép|500px|2.3.1 ábra]]
|-
| align="center"|2.3.1 ábra
|}

A tanultak alkalmazására keressük meg két ismert probléma megoldását!

'''Az RL-kör bekapcsolási jelensége'''

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:RL_kör.JPG|közép|350px|2.3.2 ábra]]
|-
| align="center"|2.3.2 ábra
|}

A probléma matematikai felírása már ismert:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L\frac{dI}{dt}+RI = U_o 1(t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.8) </span>
|}

Most végezzük el a Laplace-transzformációt az egyenlet mindkét oldalán, ezzel áttértünk az $s$ - térbe:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ sLI(s)+RI(s) = \frac{1}{s}U_o \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.9) </span>
|}

Ezután kifejezzük $I(s)$ –t:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I(s)= U_o\frac{1}{s} \frac{1}{Ls+R}=\frac  {U_o}{R}\frac{1}{s} \frac{1}{\frac {L}{R}s+1} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.10) </span>
|}

A táblázat segítségével elvégezhetjük az inverz-Laplace-transzformációt és megkapjuk az ismert megoldást:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I(t)= \frac  {U_o}{R}\left(1-e^{-\frac{L}{R}t}\right) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.11) </span>
|}

Hasonlóan járhatunk el az '''RC-kör''' esetén is.

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:RC_kör.JPG|közép|350px|2.3.3 ábra]]
|-
| align="center"|2.3.3 ábra
|}

A probléma matematikai modellje – csakúgy, mint az előbbi esetnél – ismert:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}Q = U_o 1(t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.12) </span>
|}

Az egyenletet átírva az áramra azt kapjuk, hogy:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ RI+\frac{1}{C}\int I(t)dt = U_o 1(t) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.13) </span>
|}

A Laplace-transzformációt elvégezve:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ RI(s)+\frac{1}{C}\frac{1}{s}I(s) = U_o \frac{1}{s} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.14) </span>
|}

Az egyenletből I(s)-t kifejezve:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I(s)= \frac{U_o}{Rs+ \frac{1}{C}}=\frac{U_o}{R} \frac{1}{s+\frac{1}{RC}} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.15) </span>
|}

Végezzük el az inverz-Laplace-transzformációt a táblázat segítségével:

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ I(t)= \frac{U_o}{R} e^{-\frac{1}{RC}t} \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.3.16) </span>
|}


Megmutatható, hogy a Fourier-transzformációt alkalmazó konvolúciós tétel a Laplace-transzformációra is alkalmazható; tehát egy általános $f(t)$ gerjesztés esetén (megszorítás: $f(t) = 0$ ha $t < 0$).

{| width = "100%"
|-
| width = "10%" |
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L(f {*} g)= L(f)L(g)=f(s)g(s) \]</latex></div>
| align = "right" | <span id="eq2"> (2.2.15) </span>
|}

A rendszer által adott választ most már a 2.2.6 ábrán látható sémának megfelelően kaphatjuk meg azzal a különbséggel, hogy a Fourier és inverz Fourier-transzformációk helyett a Laplace és inverz-Laplace-transzformációt kell alkalmazni.

Az általunk vizsgált egyszerű, lineáris áramkörök, valamint az alkalmazott módszerek – ahogy azt az előzőekben láthattuk – egy egyszerű sémával jellemezhetők (2.3.4 ábra).

{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Kétpólus.JPG|közép|350px|2.3.4 ábra]]
|-
| align="center"|2.3.4 ábra
|}

Mint azt az ábra is mutatja, az $U(t)$ feszültségre – vagyis a gerjesztésre – a lineáris rendszer az $I(t)$ árammal reagál.