Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat árnyékolással elektromos tere forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Egy $R_{1}$ sugarú gömben egyenletes $\rho$ térfogati töltéssűrűség van. Ezt egy $R_{2}$ sugarú földelt fémgömb veszi körül koncentrikus elrendezésben.<br>'''a)''' Határozzuk meg, a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!<br>'''b)''' Mekkora felületi töltéssűrűség alakul ki a földelt gömbhéj belső felületén?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a Gauss tételt a különböző térrészekre!}} {{Végeredmény|content=Ha $r<R_{1}$:$$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ Ha $R_{1}<r<R_{2}$:: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$ Ha pedig $r>R_{2}$: $$\vec{E}=0$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>
[[Kép:KFGY2-1-10_a.png|none|400px]]

'''a)'''

A gömb terét Gauss-törvénnyel határozzuk meg az előző feladatban alkalmazott módszerrel.
A Gauss-felület egy $r$ sugarú gömb, mely koncentrikus a töltéselrendezéssel. Ezek alapján a Gauss-tétel:

$$\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV$$
Ami ha $r<R_{1}$:
$$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot r^{3}\cdot\pi\cdot\rho$$
$$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$
Ha $R_{1}<r<R_{2}$::
$$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot R^{3}\cdot\pi\cdot\rho$$
$$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$
Ha pedig $r>R_{2}$:
$$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0$$
$$\vec{E}=0$$
Mivel a megosztás következtében gömbhéj belső felületén jelenik meg ugyanakkora ellentétes előjelű töltés, mint amilyen amekkora az $R_{1}$ sugarú gömb töltése.

Ezt ábrázolva:

[[Kép:KFGY2-1-10.png|480px]]

'''b)'''

Mivel a földelt gömbhéj belső felületén lévő töltés abszolút értéke megegyezik az $R_{1}$ sugarú gömbön található töltés abszolútértékével, viszont előjele azzal ellentétes.Ezért
$$-4\cdot\pi\cdot R_{2}^{2}\cdot\omega = \frac{4}{3}\cdot R_{1}^{3}\cdot\pi\cdot\rho$$
Amiből:
$$\omega = -\frac{R_{1}^{3}\cdot\rho}{3\cdot R_{2}^{2}}$$
</wlatex>
</noinclude>