Elektrosztatika példák - Hengerfelületre feltekert síkkondenzátor forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Adott egy síkkondenzátor, melynek fegyverzetei egymástól $d$ távolságra helyezkednek el. A kondenzátort feltekerjük egy vastag, $r$ sugarú hengerre úgy, hogy annak palástján a fegyverzetek $N$ réteget alkotnak az 1. ábra szerint. Mennyivel változik az így kapott kondenzátor kapacitása az eredeti állapotához képest? Tételezzük fel, hogy a feltekert fegyverzetek sok réteget alkotnak  ($N\gg 1$), és a rétegrendszer teljes vastagsága lényegesen kisebb, mint a henger sugara ($r\gg 2Nd$). [[Kép:KFGY2-3-9_1.png|none|350px]] <br> 1. ábra</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A Gauss tétel segítségével állapítsuk meg az egyes fóliarétegeken lévő töltésmennyiséget és adjuk össze!}}{{Végeredmény|content=$$C=\dfrac{Q}{U}=\dfrac{\dfrac{2N-1}{N}A\varepsilon_{0}E}{Ed}=\dfrac{2N-1}{N}\varepsilon_{0}\dfrac{A}{d} $$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>
Ha $r\gg d$, akkor a fóliák közti térerősség rendre {$+E$, $-E$, $+E$, $-E$...} (2. ábra) ahol $U=Ed$ a fóliák között mérhető potenciálkülönbség.

[[Kép:KFGY2-3-9_2.png|none|350px]]
<br> 2. ábra

Hogy megállapítsuk a legbelső, pozitív töltésű fóliarétegen található $Q_{1}$ töltés mennyiségét, felvesszük a 3. ábra szerinti felületet, és alkalmazzuk rá a Gauss törvényt.

[[Kép:KFGY2-3-9_3.png|none|350px]]
<br> 3. ábra

Belátható, hogy:
<br>
-A felvett felület csak a belső, $Q_{1}$ töltésű fóliaréteget zárja magába.
<br> 
-A felvett felület $2\pi r l$ területű palástján mindenütt normális irányú, kifelé mutató $E$ térerősség mérhető.
<br>
-A többi záró felületen a térerősségnek nincs felületre merőleges komponense.
<br>
<br>
Ezek alapján a Gauss törvény:

    $$ 2\pi rlE=\dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}} $$                              
    
Az első fóliaréteg töltése tehát:

$$ Q_{1}=2\pi rl\varepsilon_{0}E $$                              

A második, negatív töltésű fóliarétegen található {$Q_{2}$} töltést az 4. ábra szerinti Gauss-felület felvételével határozzuk meg.

[[Kép:KFGY2-3-9_4.png|none|350px]]
<br> 4. ábra

Megállapítható, hogy:
<br>
-Az új felület a már ismert $Q_{1}$ és a még ismeretlen $Q_{2}$ töltést zárja magába.
<br>
-A paláston mindenütt normális irányú, befelé mutató $E$ térerősség mérhető.
<br>
-A többi záró felületen a térerősségnek nincs felületre merőleges komponense.
<br>
<br>
Ezek alapján a Gauss törvény:

    $$ 2\pi rl(-E)=\dfrac{Q_{1}+Q_{2}}{\varepsilon_{0}} $$                
    
A második fóliaréteg töltése tehát:

	$$ Q_{2}=-2Q_{1} $$ 

A harmadik fóliaréteget is magába záró felületre felírt Gauss törvény a fentiek alapján:

	$$ 2\pi rlE=\dfrac{Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}}{\varepsilon_{0}} $$                
	
A harmadik fóliaréteg töltése:

	$$ Q_{3}=2Q_{1} $$ 
	
Ha a Gauss tételt sorban alkalmazzuk olyan zárt felületekre, amelyek rendre eggyel több fóliaréteget zárnak magukba az előzőleg felvett felülethez képest, beláthatjuk, hogy a töltés az egyes fóliarétegeken az 5. ábra szerint alakul.

[[Kép:KFGY2-3-9_5.png|none|350px]]
<br> 5. ábra

A legkülső felületen szükségszerűen $-Q_{1}$ töltésnek kell lenni, hogy a rendszer kifelé semlegesnek mutatkozzék.

Egy fegyverzeten található össztöltés $N$ db tekeredés esetén:

	$$ Q=Q_{1}+2Q_{1}+2Q_{1}+...+2Q_{1}=(2N-1)\dfrac{A}{N}\varepsilon_{0}E $$ 
	
Ahol $A\cong 2\pi rlN$ a fólia területe.

A lemezek közti feszültség $U=Ed$, tehát a kapacitás:

	$$C=\dfrac{Q}{U}=\dfrac{\dfrac{2N-1}{N}A\varepsilon_{0}E}{Ed}=\dfrac{2N-1}{N}\varepsilon_{0}\dfrac{A}{d} $$
	
A síkkondenzátor $\varepsilon_{0}\dfrac{A}{d}$ kapacitása  $\dfrac{2N-1}{N}$ -szeresére nőtt a feltekerés hatására.
Ha $N$ igen nagy, $\dfrac{2N-1}{N}\rightarrow 2$, tehát a kapacitás kétszeresére nő.
</wlatex>
</noinclude>