Erőtan II. - 2.1.21 forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]
[[Kategória:Mechanika - Erőtan II.]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Mechanika - Erőtan II.
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># (**2.1.21) Egy testre a nehézségi erőn kívül a sebességgel arányos fékező erő hat. ($F_{s}=-\alpha v$)
#: a) Írjuk le a test mozgását, ha $h$ magasságból kezdősebesség nélkül indult!
#: b) Milyen lesz a test mozgása $t\gg m/\alpha$ és $t\ll m/\alpha$ esetén?
#: c) Hogyan változik időben a test teljes energiája?
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a mozgásegyenletet a függőleges mozgásra! Oldjuk meg az így kapott, sebességre vonatkozó differenciál egyenletet!}}{{Végeredmény|content= a) $$y(t)=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)$$ <br> b) $$y\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}$$ $$y\left(t\ll \frac{m}{\alpha}\right)=h-\frac{g}{2}t^{2}$$ <br> c) $$E(t)=mg\left[h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)\right]+\frac{g^{2}m^{3}}{2\alpha^{2}}\left(e^{-\frac{\alpha}{m}t}-1\right)^{2}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>#: a) A testre csak a függőlegesen lefelé irányított gravitációs és a függőlegesen felfelé irányított közegellenállási erők hatnak. A függőleges irányú mozgásegyenlet tehát $$ma=-mg-\alpha v$$ alakban írható. A mozgás az $y$ tengely mentén történik, amelyet úgy irányítunk, hogy a pozitív vége függőlegesen felfelé mutat. A gyorsulás a sebességnek az idő szerinti deriváltja, így a mozgásegyenlet matematikai szempontból egy elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet a sebességre vonatkozóan. $$\dot{v}=-g-\frac{\alpha}{m}v$$ A differenciálegyenletet kell $v(0)=0$ kezdő feltétel mellett megoldani. $$\dot{v}=-\frac{\alpha}{m}\left(v+\frac{gm}{\alpha}\right)$$ Legyen $\tilde{v}(t)=v(t)+\frac{gm}{\alpha}$! Ezzel $$\dot{\tilde{v}}=-\frac{\alpha}{m}\tilde{v}\,,$$ melynek megoldása $$\tilde{v}(t)=Ae^{-\frac{\alpha}{m}t}$$ tetszőleges $A$ konstanssal, melyet majd a kezdeti feltétel segítségével tudunk meghatározni. $$v(t)=Ae^{-\frac{\alpha}{m}t}-\frac{gm}{\alpha}$$ A kezdeti feltétel $v(0)=0$. Ez csak úgy tud teljesülni, ha $$A=\frac{gm}{\alpha}\,.$$ Így a test sebessége az idő függvényében $$v(t)=\frac{gm}{\alpha}\left(e^{-\frac{\alpha}{m}t}-1\right)\,,$$ a test helyzete pedig az $y(0)=h$ kezdeti feltétellel $$y(t)=y(0)+\int_{0}^{t}v(t')dt'=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)\,.$$
#: b) Ha $t\gg \frac{m}{\alpha}$, akkor az exponenciálisok nagyon kicsivé válnak. $$v\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)=-\frac{gm}{\alpha}$$ $$y\left(t\gg \frac{m}{\alpha}\right)=h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}$$ Elegendően sokat várva tehát már egyenes vonalú egyenletes mozgást végez a test. Ha $t\ll \frac{m}{\alpha}$, akkor az exponenciálisok argumentumában egy kis szám szerepel. Kihasználva azt a közelítést, miszerint kis $x$-re $e^{x}\approx 1+x$, megadhatunk egy közelítő formulát a sebességre. $$v\left(t\ll \frac{m}{\alpha}\right)\approx \frac{gm}{\alpha}\left(1-\frac{\alpha}{m}t-1\right)= -gt$$ Az elmozdulás az ilyen rendű közelítésben csak $y(t)=h$ lenne. A közelítés következő rendjében $e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}$, amely szerint $$y\left(t\ll \frac{m}{\alpha}\right)\approx h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1+\frac{\alpha}{m}t-\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{m}t\right)^{2}\right)=h-\frac{g}{2}t^{2}\,.$$ Kis időkre tehát úgy viselkedik a test, mintha nem is hatna rá közegellenállás. Ez érthető is, hiszen ebben az idő tartományban még nagyon kicsi a sebesség és így kicsi a vele arányos közegellenállási erő.
#: c) A test teljes energiája $$E(t)=mgy(t)+\frac{1}{2}mv(t)^{2}=mg\left[h-\frac{gm}{\alpha}t+\frac{gm^{2}}{\alpha^{2}}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right)\right]+\frac{g^{2}m^{3}}{2\alpha^{2}}\left(e^{-\frac{\alpha}{m}t}-1\right)^{2}$$ szerint változik az időben.
</wlatex>
</noinclude>