Erőtan II. - Forgó rotor még egyszer forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]
[[Kategória:Mechanika - Erőtan II.]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Mechanika - Erőtan II.
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Oldjuk meg az [[Erőtan I. - 2.4.4|Erőtan I. - 2.4.4]] feladatot újból, de most a rotorral együttforgó koordinátarendszerben! Ha $l \omega^2 > g$, adjuk meg az inga rezgéseinek frekvenciáját, ha kicsit kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. (Tegyük fel, hogy az ingát a rotorhoz egy merev rúd köti, ami a rotorral együtt forog.) </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= Lásd a teljes megoldást!}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>#: Ha az inga szögkitérése $\varphi$, úgy rá vízszintesen $F_{cf} = m L \sin(\varphi) \omega^2$ centrifugális erő hat a forgó k.r. -ben. Ennek a tangenciális komponense $m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi)$. A nehézségi erő tangenciális komponense $- m g \sin(\varphi)$. Az egyensúly feltétele tangenciális irányban: $$ m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) - m g \sin(\varphi) = 0 \; .$$ Ennek az egyenletnek triviális megoldása a $\varphi = 0$. Ha azonban véges kitérése van, úgy $$L \omega^2 \cos(\varphi) = g \; ,$$ amiből $\cos(\varphi) = \frac{g}{L \omega^2}$. Ez csak akkor ad megoldást, ha a jobboldal kisebb 1-nél, azaz $L \omega^2 > g$.
#: Írjuk fel az inga mozgásegyenletét tetszőleges kitérés esetén. Ha a rotor nem engedi kicsavarodni az ingát, úgy a Coriolis erőt a rotor kompenzálja, ezért csak a centrifugális erővel kell számolni. A tangenciális mozgásegyenlet: $$m L \ddot{\varphi} =  m L \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) - m g \sin(\varphi) \; , $$ azaz $$\ddot{\varphi} = \omega^2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) -  \frac{g}{L} \sin(\varphi) \; .$$ Fejtsük lineáris rendig Taylor sorba ezt a kifejezést $\varphi_0 = \arccos \left( \frac{ g}{L \omega^2} \right)$ körül. Mivel $\varphi_0$ épp az egyensúlyi helyzet, a konstans tag eltűnik. A jobboldal első deriváltja: $$\omega^2 (\cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi)) - \frac{g}{L} \cos(\varphi) =  \omega^2 (2 \cos^2(\varphi) - 1) - \frac{g}{L} \cos(\varphi)\; . $$ Behelyettesítve ebbe $\varphi_0$ értékét: $$\omega^2 \left(2 \frac{g^2}{L^2 \omega^4} - 1 \right) - \frac{g^2}{L^2 \omega^2} = \frac{g^2}{L^2 \omega^2} - \omega^2 \; .$$ Ezzel a $\varphi_0$ körüli kis kitérések esetén: $$\ddot{\varphi} \approx - \left( \omega^2 - \frac{g^2}{L^2 \omega^2} \right) (\varphi - \varphi_0) \; .$$ A rezgések körfrekvenciája innen leolvasva: $$\Omega = \sqrt{ \omega^2 - \frac{g^2}{L^2 \omega^2}} \; . $$
</wlatex>
</noinclude>