Integrálás - Parciális integrálás forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Gombkötő]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Integrálás
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># * Határozzuk meg az alábbi integrálokat parciális integrálással!
#: a) $$\int x\cos x \,dx$$
#: b) $$I=\int x^{2}e^{2x}dx$$
#: c) $$I=\int e^{x}\sin x\,dx$$</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=a) $$x\sin x+\cos x+C$$    b) $$e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)+C$$    c) $$\frac{e^{x}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C$$ }}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>#: a)$$\int x\cos x \,dx=x\sin x -\int 1\cdot\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$$
#: b) $$I=\int x^{2}e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}x^{2}-\int \frac{e^{2x}}{2}2x\,dx$$ $$I_2=\int xe^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}x-\int \frac{e^{2x}}{2}\cdot 1\,dx=\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}+C$$ $$I=e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)+C$$
#: c) $$I=\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x \,dx$$ $$I_{2}=\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x-\int e^{x}(-\sin x)dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx$$ $$I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)-I$$ $$2I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)$$ $$I=\frac{e^{x}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C$$</wlatex>
</noinclude>