Kvantummechanikai bevezető példák - Compton-szórás energiaviszonyai forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat]]
[[Kategória:Szerkesztő:Stippinger]]
[[Kategória:Kvantummechanikai bevezető]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
| témakör     = Kvantummechanikai bevezető
| rövid       = Kvantummechanikai bevezető
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Határozza meg, hogy a ''Compton''-szórás esetén a beeső foton energiájának hány százalékát adja le az elektronnak!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A ''Compton''-szórás levezetéséhez írja fel a relativisztikus energia- és impulzusmegmaradást.}}{{Végeredmény|content=$$\eta = 1 - \left(\frac{p_f(1-\cos\vartheta)}{m_e c}+1\right)^{-1},$$ ahol $\vartheta$ a foton eltérülése eredeti irányától.}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>A ''Compton''-szórás a fotonok elektronokon való szóródásának relativisztikus elmélete. Egy részecske relativisztikus energiája
$$ E = \left(mc^2\right)^2+\left(pc\right)^2, $$
ahol $m$ a részecske nyugalmi tömege, $p=\frac{\left(mv\right)^2}{1-\textstyle \left(\frac{v}{c}\right)^2}$ a relativisztikus impulzusa.

Vizsgáljuk azt az esetet, amikor a $p_f$ kezdeti impulzusú foton egy nyugalomban lévő ($p_e=0$) elektronon szóródik (ezt a koordinátarendszer megfelelő választásával könnyen elérhetjük). Az energiamegmaradás szerint
$$ p_f c + m_e c^2 = p'_f c + \sqrt{\left(m_e c^2\right)^2+\left(p'_e c\right)^2}, $$
$$ \left(p_f c - p'_f c + m_e c^2\right)^2 = \left(m_e c^2\right)^2+\left(p'_e c\right)^2. $$


[[Fájl:Compton-szórás.png|center|400px]]


Az impulzusmegmaradás szerint
$$ {p'_e}^2 = p_f^2 + {p'_f}^2 - 2 p_f p'_f \cos \vartheta, $$
ahol $\vartheta$ a foton eredeti irányától való eltérésének szöge. Ezzel az előző egyenlet
$$ -2(1-\cos \vartheta)p_f p'_f c^2 + 2(p_f c)(m_e c^2) -2(p'_f c)(m_e c^2) = 0 $$
alakot ölti, továbbá
$$ 1-\cos \vartheta = \frac{m_e c}{p'_f} - \frac{m_e c}{p_f} = \frac{m_e c}{h} (\lambda'-\lambda). $$

A foton által átadott energiahányad
$$ \eta = \frac{|\Delta E_f|}{E_f} = \frac{p_f c - p'_f c }{p_f c}
    = 1 - \left(\frac{p_f(1-\cos\vartheta)}{m_e c}+1\right)^{-1}. $$
Az $(1-\eta)$ kifejezés megjelenik a fotonszórás differenciális hatáskeresztmetszetét megadó ''Klein''–''Nishina''-formulában is.
</wlatex>
</noinclude>