Mágneses momentum mérése vibrációs magnetométerrel forrásának megtekintése

<wlatex>

<!--[[Kategória:Mechanika]]--> 
<!--[[Kategória:Elektromosságtan]]-->
<!--[[Kategória:Hőtan]]-->
<!--[[Kategória:Kvantummechanika]]-->
<!--[[Kategória:Statisztikus fizika]]-->
<!--[[Kategória:Nanofizika]]-->
[[Kategória:Optika]]
<!--[[Kategória:Szilárdtestfizika]]-->
<!--[[Kategória:Mag és részecskefizika]]-->       
<!--[[Kategória:Informatika]]--> 
[[Kategória:Laborgyakorlat]]
<!--[Kategória:Fizika laboratórium 1.]]-->
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 2.]]-->
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 3.]]-->
[[Kategória:Fizika laboratórium 4.]]
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 5.]]-->
[[Kategória:Szerkesztő:Lenk]]

''A mérés célja:''

A mérés célja megismerkedni egy makroszkopikus minta mágneses dipólmomentumának mérésével, valamint megvizsgálni egy lágymágneses anyag momentumának változását a külső mágnesező tér függvényében. A külső mágneses teret egyenáramú gerjesztő tekerccsel hozzuk létre, amely a különböző mintákban eltérő mágneses dipólmomentumot kelt. A mágneses térerősség mértéke a gerjesztő tekercs áramával szabályozható. Az ily módon felmágnesezett minta közelébe helyezett másik tekercsben (mérőtekercs) a dipólmomentum tere mágneses fluxust hoz létre. Ha a mintát a mérőtekercshez képest mozgatjuk, a tekercsben fluxusváltozás lép föl, ami feszültséget indukál. Az indukált feszültség értékéből a minta mágneses momentuma meghatározható. A mérési összeállítás akkor optimális, ha az elemek paramétereinek megválasztása révén (tekercsek alakja, minta helye stb.) a mért feszültség arányos a mágneses momentummal, valamint értéke a lehető legnagyobb.


__TOC__

==Elméleti összefoglaló==
===Elméleti alapok===
Egy '''H''' mágneses térerősségvektorral jellemzett térben lévő közegben kialakuló '''B''' mágneses indukció a következő összefüggéssel írható le:
{{eq|\mathbf{B} {{=}} \mathbf{\mu_0}(\mathbf{H} + \mathbf{M})|eq:1|(1)}}

ahol '''M''' a mágneses dipólmomentum sűrűség vektor vagy mágnesezettségi vektor. Egy makroszkópikus méretű, „V” térfogatú test mágneses momentuma ('''m''') a következő térfogati integrálással kapható meg:
{{eq|\mathbf{m} {{=}} \mathbf{\int \limits_V M} dV|eq:2|(2)}}

A mérés során az '''m(H)''' függvényt szeretnénk meghatározni. A mérés a mágneses indukció jelenségén alapul, vagyis mindenekelőtt meg kell határoznunk a bevezetőben említett mérőtekercsben indukált „U” feszültség és az '''m''' mágneses momentum közötti kapcsolatot. Az alábbiakban kivonatosan bemutatjuk a keresett összefüggés levezetését. Kiindulásul a Maxwell-egyenleteket alkalmazzuk kvázistacionárius közelítésben, azaz az időben változó terek okozta sugárzást elhanyagoljuk. A levezetés kulcsgondolata szerint először összehasonlítjuk egy „I” áramjárta tekercs mágneses terébe helyezett '''m''' mágneses dipólus energiáját azzal az energiával, amit ugyanez a dipólus tárol ugyanebben a tekercsben az általa létrehozott $\Phi$ fluxus által. Így megkapjuk a $\Phi(m)$ összefüggést. Mivel a fluxusnál az indukált feszültség sokkal egyszerűbben mérhető, mozgatni fogjuk a mintát, és meghatározzuk a keresett U('''m''') összefüggést.

===A mérés elve===
Először egy külső '''H''' mágneses térben lévő '''m''' dipólus energiáját (W<sub>1</sub>) írjuk föl skalárszorzat formájában:
{{eq|W_1 {{=}} -\mathbf{m \cdot H}|eq:3|(3)}}	
								
amelynek alakja abból adódik, hogy a mágneses tér a momentumra forgatónyomatékot gyakorolhat. Tegyük fel, hogy a mágneses teret egy „g” görbével jellemezhető hurokban folyó „I” áram határozza meg. Egy vákuumban lévő $(\mathbf{B = \mu_0 \cdot H})$ hurok által keltett tér a Biot-Savart-törvény szerint:
{{eq|\mathbf{H(r)} {{=}} I \cdot \oint_g \frac{d\mathbf{r'}\times{}\left(\mathbf{r-r'}\right)}{{\left\vert{}\mathbf{r-r'}\right\vert{}}^3} {{=}} I \cdot \mathbf{H^e}|eq:4|(4)}}	
ahol $\mathbf{H^e}$-vel jelöltük az egységnyi áram által keltett mágneses térerősséget, amely csupán a geometriától függ. Ezt behelyettesítve ([[#eq:3|3]])-ba a következőt kapjuk:
{{eq|W_1 {{=}} - \mathbf{m} \cdot \mathbf{H^e} \cdot I|eq:5|(5)}}

Másodszor azt nézzük meg, hogy mekkora az energiája az '''m''' mágneses momentum keltette '''B''' mágneses indukciójú térben található „A” felületű vezető huroknak, melyben „I” áram folyik:
{{eq|W_2 {{=}} \frac {I \cdot \Phi} {2} |eq:6|(6)}}
									
ahol $\Phi$ a hurokban fellépő mágneses indukciófluxus:
{{eq|\Phi {{=}} \int_A \mathbf{B} d\mathbf{A}|eq:7|(7)}}
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| {{fig|MM_01.png|fig:1|1. ábra. A mágneses momentum és a mérőhurok.}}
|}
Amennyiben az „I” árammal '''H''' térerősséget létrehozó, valamint a Φ fluxust tartalmazó hurok és a mágneses momentum egy és ugyanaz mind a két esetben, az előbbi energiakifejezéseknek egyenlőnek kell lenniük:
{{eq|W_1 {{=}} W_2 \qquad \to \qquad -\mathbf{m} \cdot \mathbf{H}^e \cdot I {{=}} \frac{I\cdot \Phi}{2}|eq:8|(8)}}
ahol I-vel egyszerűsíthetünk, így a mágneses fluxus a hurokban:
{{eq|\Phi {{=}} - 2\cdot \mathbf{m} \cdot \mathbf{H}^e|eq:9|(9)}}
Most azt az esetet vizsgáljuk meg, amikor a mágneses dipólust mozgatjuk a mérőhurokhoz képest. Ekkor ''a geometria változása fluxusváltozást eredményez'', amely a mérőtekercsben indukált feszültséget (U) hoz létre:
{{eq|U(t) {{=}} - \frac{d \Phi }{dt} {{=}} -\frac{d \Phi }{d \mathbf{r} } \cdot \frac{d \mathbf{r} }{dt} {{=}} -2 \cdot grad \left(\mathbf{m} \cdot \mathbf{H} ^e\right) \cdot \frac{d \mathbf{r} }{dt}|eq:10|(10)}}
A fenti összefüggésben az idő (t) szerinti deriválást a láncszabály alapján mindjárt átalakítottuk hely szerinti deriválásra, ahol '''r''' a dipólus helyvektorát jelenti. Az '''m''' a végső mérendő mennyiség, értékét a gerjesztő tekercs árama határozza meg, ami egy mérési pontban időben állandó. Ha a dipólus mozgástartománya kicsi a gerjesztő tekercs jellemző méreteihez képest, '''m''' értéke a mozgás során helyfüggetlen is, mivel kis helyváltoztatás során a gerjesztő tekercs mágneses tere állandó. A mágneses momentum épp ezért kiemelhető a gradiensből, ahol így csak '''H<sup>e</sup>''' marad. Ha a mérési elrendezés geometriája olyan, hogy '''H<sup>e</sup>'''-nek, '''m'''-nek és a helyvektor d'''r''' megváltozásának csak azonos irányú komponense van, és a koordináta rendszerünket úgy vesszük fel, hogy a z-tengelye ebbe az irányba mutat, akkor a fenti mennyiségek helyettesíthetők H<sub>z</sub><sup>e</sup>, m<sub>z</sub> ill. dz komponenseikkel. Ekkor a fenti kifejezés a következőre egyszerűsödik:
{{eq|U(t) {{=}} -2\cdot m_z \cdot \frac{\partial H_z^e}{\partial z}\cdot \frac{dz}{dt}|eq:11|(11)}}
A dipólus mozgatása során fellépő indukált feszültség tehát akkor mérhető könnyen, ha időben vagy állandó, vagy harmonikusan változik. Az előbbihez a dipólus egyenes vonalú egyenletes mozgását kellene biztosítani a helytől lineárisan függő H<sub>z</sub><sup>e</sup> esetén, ami nehezen kivitelezhető. Kézenfekvő tehát a dipólus „z<sub>0</sub>” amplitudójú, ω körfrekvenciájú szinuszos rezgetése. Ekkor a fenti összefüggés a következő alakot ölti:
{{eq|U(t) {{=}} -2\cdot m_z \cdot \frac{\partial H_z^e}{\partial z}\cdot z_0\cdot \omega \cos(\omega t)|eq:12|(12)}}
Látható, hogy a legnagyobb indukált feszültséget akkor kapjuk, ha a minta mozgása gyors, valamint ha az egységnyi áram által keltetett mágneses tér gyorsan változik a hellyel. Ebben az esetben akkor lesz az indukált feszültség arányos '''m'''-el, ha H<sub>z</sub><sup>e</sup> hely szerinti változása a mozgás tartományában első rendben állandó, azaz $\frac{\partial H_z^e}{\partial z} {{=}} const$. A feladat tehát egy ilyen mérőhurok geometriát találni.
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| {{fig|MM_02.png|fig:2|2. ábra. A mérőhurok geometriája a magnetométerben.}}
|}

===A vibrációs magnetométer===
A Biot-Savart törvény itt nem részletezett alkalmazásával meg lehet győződni róla, hogy a [[#fig:2|2. ábrán]] látható kettős mérőhurok elrendezés alkalmas a $\frac{\partial H_z^e}{\partial z} {{=}} const$. feltételnek megfelelő mágneses tér előállítására, és ne felejtsük el, hogy így az induktivitás kölcsönössége, azaz az ekvivalenciánk alapján ideális mérőhuroknak/-tekercsnek is. A levezetésben csak a két ellentétes körüljárású áramhurok terének z komponensét kell meghatározni a z tengely mentén, majd annak megfelelő deriváltját képezni. Ez a z = 0 „középpontban” és annak z << d kis környezetében az ábra jelöléseit felhasználva az alábbi alakot ölti:
{{eq|\frac{\partial H_z^e}{\partial z} {{=}} - \frac{3 \cdot R^2 \cdot d}{\left( R^2+d^2\right) ^{5/2} }|eq:13|(13)}}
amely valóban állandó (z-től független). Maximális értékét megfelelő R/d arány mellett veszi fel, melyet az R = áll. feltételes szélsőérték keresésével határozhatunk meg. Ennek eredménye:
{{eq|\frac{\partial}{\partial d}\cdot \frac{\partial H_z^e}{\partial z} {{=}} \left( R^2 + d^2 \right)^{5/2} - 5 \cdot \left( R^2 + d^2 \right)^{3/2} \cdot d^2 {{=}} 0 \qquad \Rightarrow \qquad R {{=}} 2d|eq:14|(14)}}
vagyis az R sugarú hurkokat úgy kell elhelyezni, hogy éppen R távolságra legyenek egymástól. Ha a hurkok helyett N menetes tekercseket alkalmazunk, az indukált feszültség ([[#eq:12|12]])-ben megadott értékének is N-szeresét kapjuk:
{{eq|U(t) {{=}} 2\cdot N\cdot m_z \cdot \frac{12}{5^{5/2}\cdot d^2} \cdot z_0 \cdot \omega \cos(\omega t)|eq:15|(15)}}
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| {{fig|MM_03.png|fig:3|3. ábra. A mérési elrendezés vázlatrajza.}}
|}
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| {{fig|MM_04.png|fig:4|4. ábra. A mérőkészülék a valóságban.}}
|}
Nem esett még szó a minta felmágnesezéséről, melyhez egy megfelelő erősségű homogén mágneses térre van szükség. Erre a célra alkalmas a [[#fig:3|3. ábrán]] és a [[#fig:4|4. fényképen]] is látható lágyvas maggal/járommal ellátott elektromágnes, melyet egyik oldalán egyenárammal (Ig) táplált „n” menetű tekercselés vesz körül. A másik oldalon a résben közelítőleg homogén tér alakul ki, amely a rés közepén, ahová a mintát is helyezzük még inkább megfelel ennek a feltételnek. A [[#fig:3|3. ábrán]] az is látható, hogy szintén a rés két oldalára került a két mérőtekercselés. Végeredményben egyfajta „transzformátort” kaptunk, melyben nem a primer köri áram váltakozik az idővel, hanem a tekercsek közti induktív csatolást erősítő kétrészes vasmag (nagy lágyvas tömb és a kisméretű minta). A résben keltett mágneses tér közelítő meghatározásához a gerjesztési törvényt alkalmazzuk. Az ábra jelöléseit használva:
{{eq|\mathbf{\oint H dr} {{=}} \sum I \qquad \Leftrightarrow \qquad H_{Fe} \cdot 2I_1 + H_{Fe} \cdot (2I_2 - 2d) + H_{r\acute{e}s} \cdot 2d {{=}} n \cdot I_g|eq:16|(16)}}
A rés és vasmag határán (izotróp permeabilitású vasmagot feltételezve, ahol '''B''' és '''H''' párhuzamos) a tér jó közelítéssel a határfelületre merőleges irányú, tehát a '''B''' indukció megy át folytonosan: $\frac{B}{\mu_0} = H_{r\acute{e}s}$ valamint $\frac{B}{\mu_{Fe}} = H_{Fe}$. Behelyettesítve ([[#eq:16|16]])-ba adódik:
{{eq|B {{=}} \frac{n\cdot \frac{I_g}{2} }{\frac{I_1 + I_2 + d}{\mu_{Fe} }+\frac{d}{\mu_0} }|eq:17|(17)}}
Itt a nevezőben az első tag a µ<sub>Fe</sub> nagyon nagy értéke miatt elhanyagolható a második tag mellett, így:
{{eq|B \approx \frac{\mu_0\cdot n\cdot I_g}{2\cdot d}|eq:18|(18)}}
valamint a térerősség a légrésben
{{eq|H_{r\acute{e}s} \approx \frac{n\cdot I_g}{2d}|eq:19|(19)}}
A mérőkészülék további részei: a mágnesező tekercs táplálását egy feszültséggenerátor biztosítja, a mintát pedig egy piezoelektromos mozgató rezgeti, melyet egy jelgenerátor szinuszos jelével hajtunk meg. Az indukált feszültség mérésére annak kis értéke és a zajok kiküszöbölése érdekében egy fázisérzékeny lock-in erősítőt használunk (ld. fázisérzékeny detektálás), mely az [[#fig:5|5. fényképen]] látható. Ennek működési elve a „[[Kis fényintenzitások mérése zajos környezetben: Fázisérzékeny detektálás(lock-in)]]” c. hallgatói mérésben megtalálható, azonban ismerete jelen mérésnél nem szükséges. Jelenleg annyit elég tudnunk, hogy a műszer a mérendő szinuszos jel ''effektív értékét'' határozza meg és jelzi ki, azaz ([[#eq:15|15]]) alapján:
{{eq|U_{eff} {{=}} 2N\cdot m_z\frac{12}{\sqrt{2}\cdot 5^{5/2}\cdot d^2}\cdot z_0\cdot \omega|eq:20|(20)}}
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|- 
| {{fig|MM_05.png|fig:5|5. ábra. A fázisérzékeny (lock-in) erősítő.}}
|}

==Mérési feladatok==
A feladat két különböző anyagú minta vizsgálata, és mágneses momentumaik arányának meghatározása. Ehhez a mágnesező áram függvényében az indukált feszültséget mérjük különböző értékeknél. Mivel a gerjesztő áram (I<sub>g</sub>) a mágnesező térrel (H<sub>rés</sub>) arányos, a mért indukált feszültség (U<sub>eff</sub>) pedig a tér által okozott mágnesezettséggel/mágneses momentummal (m<sub>z</sub>), a felvett U<sub>eff</sub> - I<sub>g</sub> görbék mágnesezési görbének is tekinthetők.

* <u>1. feladat</u>
Helyezze az 1-es számmal jelzett mintát a mágnespofák közé! Ehhez a készüléken lévő fehér gombot le kell nyomni és elforgatni, hogy úgy maradjon (retesz). A mintát a tartójával úgy kell elhelyezni, hogy a minta a pofák között pontosan középen legyen. A mintatartót ütköztesse a gomb alsó szárához majd rögzítse azt! Ezután felengedheti a gombot. A piezoelektromos mozgatót meghajtó szinuszos jel amplitúdója legyen 1V pp (csúcstól csúcsig). Ezt az oszcilloszkópon ellenőrizheti.

Csatlakoztassa a mérőtekercs kimenetét a lock-in erősítő jelbemenetéhez (''Signal A''), valamint a jelgenerátor kettéosztott jelét a piezo mozgatóhoz és a lock-in erősítő referencia bemenetéhez (''Reference input''). Kapcsolja be az erősítőt, és helyezze a legérzéketlenebb állásba (''Sensitivity'' 1000 mV)! Állítsa a referencia kijelzőt ''Freq''-re, valamint az időállandót (''Time constant'') 100 ms állásba. A feszültség kijelző rész legyen ''Signal in'' állásban. Állítsa be a jelgenerátor frekvenciáját 1500±50 Hz-re. Ezt az értéket a lock-in erősítőn tudja pontosan ellenőrizni.

Az egyenáramú tápegységen a bal oldali áramérték kijelző alapján állítson be 1 A gerjesztő tekercs áramot a feszültségváltoztató potméterekkel! Nyomja meg a lock-in erősítő AUTO gombját, és várjon, amíg a felette lévő LED kialszik! Ekkor az erősítő a mért és a referencia jelet azonos fázisba hozta. Ha a beállás során megváltozott az időállandó, állítsa vissza az eredeti értékekre. Ha szükséges, manuálisan keresse meg azt az érzékenységet (''Sensitivity''), amelybe a mért jel még éppen belefér, majd az áramot csökkentse 0 A-re, és nyomja meg az erősítőn az AUTO ZERO gombot (ha szükséges, többször is)!

Ekkor az elrendezés készen áll a mérésre. Vegye fel a minta U<sub>eff</sub>-I<sub>g</sub> görbéjét 0,1 A-es lépésekben a következők szerint: először 0-tól 1 A-ig, majd vissza −1 A-ig (0-nál pólusváltás szükséges a banándugókkal), végül vissza 0 A-ig. 

* <u>2. feladat</u>
Ismételje meg az első feladat lépéseit a 2-es számú mintával.

==Kiértékelés, jegyzőkönyv==
Ábrázolja a kapott eredményeket U<sub>eff</sub> - I<sub>g</sub> diagramon! Értelmezze a látottakat! Ábrázolja az azonos áramértékekhez tartozó feszültségeket U<sub>eff,1</sub>-U<sub>eff,2</sub> diagramon. A megfelelő szakaszra történő egyenes-illesztéssel határozza meg a mágneses momentumok arányát! Mekkora a mágnesező tér legnagyobb értéke?

==PDF formátum==
[[Media:magnetometerL.pdf|Mágneses momentum mérése vibrációs magnetométerrel]]

==Ellenőrző kérdések==
[[Media:ellenorzo_kerdesek_magneto_2019-09-19.pdf|Ellenőrző kérdések]]

</wlatex>
<!--Utolso szerkesztes:2013.09.25-->