Magnetosztatika példák - Forgó korong mágneses tere forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Magnetosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Magnetosztatika - Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény|Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Egy R sugarú üvegkorong egyik oldalát $\Omega$ egyenletes töltéssűrűséggel látjuk el. A korongot a szimmetriatengelye körül $\omega$ szögsebességgel megforgatjuk. Mekkora lesz a mágneses tér a korong tengelyén, a korong síkjától $z$ távolságban? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$B_z=\dfrac{\mu_0 \Omega \omega}{2} \left[ \dfrac{r^2+2z^2}{ (r^2+z^2)^{1/2}} \right]_0^R=   \dfrac{\mu_0 \Omega \omega}{2} \left( \dfrac{R^2+2z^2}{ (R^2+z^2)^{1/2}} -2z\right)$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
A forgó korong a [[Magnetosztatika példák - Körmozgást végző töltött test mágneses tere|Körmozgást végző töltött test mágneses tere]] feladatához hasonló megfontolások alapján köráramok sokaságaként írható fel. Az $R$ sugarú korongot felosztjuk $dr$ szélességű, $r$ sugarú gyűrűkre, és meghatározzuk, hogy az egyes gyűrűk mekkora köráramnak felelnek meg. A köráram mágneses terét annak tengelyén már meghatároztuk a [[Magnetosztatika példák - Körmozgást végző töltött test mágneses tere|Körmozgást végző töltött test mágneses tere]] feladatában, feladatunk tehát csak ezen elemi köráramok indukció járulékainak felösszegzése a korong teljes felületén.

Az $r$ sugarú, $dr$ szélességű elemi gyűrű $dq$ töltése:

$$dq=2\pi r\Omega dr$$

Az $\omega$ szögsebességgel keringő elemi $dq$ töltés $dI$ erősségű köráramnak felel meg:

$$dI=\dfrac{dq\omega}{2\pi}=\Omega \omega r dr$$ 

Ezen kicsiny köráramnak $z$ pontban keltett mágneses tere a 6. feladatsor 11. feladatának eredményét felhasználva:

$$dB_z=\dfrac{\mu_0 dI r^2}{2 (r^2+z^2)^{3/2}}$$

A fenti kifejezésbe beírva az infinitezimális áramra kapott összefüggést:

$$dB_z=\dfrac{\mu_0 \Omega \omega r^3}{2 (r^2+z^2)^{3/2}}dr$$

A teljes korong által keltett teret megkaphatjuk, ha az elemi köráramok indukció-járulékát felösszegezzük a korong közepétől a pereméig:

$$B_z=\int dB_z=\dfrac{\mu_0 \Omega \omega}{2} \int_0^R \dfrac{r^3}{ (r^2+z^2)^{3/2}}dr$$

Az integrálást elvégezve:

$$B_z=\dfrac{\mu_0 \Omega \omega}{2} \left[ \dfrac{r^2+2z^2}{ (r^2+z^2)^{1/2}} \right]_0^R=   \dfrac{\mu_0 \Omega \omega}{2} \left( \dfrac{R^2+2z^2}{ (R^2+z^2)^{1/2}} -2z\right)$$
</wlatex>
</noinclude>