Magnetosztatika példák - Körmozgást végző töltött test mágneses tere forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Magnetosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Magnetosztatika - Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény|Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény 
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#$R$ hosszúságú szigetelőpálca végére elhelyezett kisméretű testet $Q$ töltéssel látunk el. A szigetelő nyél másik végét tengelyhez rögzítve $\omega$ szögsebességgel megforgatjuk.  <br> '''a)''' Milyen hatással lesz a körmozgást végző töltött test a környezetére? <br> '''b)''' Mekkora és milyen irányú lesz a mágneses indukció a kör középpontján átmenő, pálya síkjára merőleges tengely mentén? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' A körmozgást végző $Q$ töltés jó közelítéssel köráramnak tekinthető $$I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\dfrac{QN \Delta t}{\Delta t}=\dfrac{Q\omega}{2\pi}$$ <br> '''b)''' $$B_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}}$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
a.) A körmozgást végző $Q$ töltés jó közelítéssel köráramnak tekinthető. Az áram erőssége:

$$I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$$

Ahol $\Delta Q$ a körpálya adott pontján $\Delta t$ idő alatt áthaladt töltések mennyisége. Tekintve, hogy a ponttöltés $N=\omega/(2\pi)$ fordulatszámmal kering:

$$I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\dfrac{QN \Delta t}{\Delta t}=\dfrac{Q\omega}{2\pi}$$

b.) Feladatunk tehát egy fent meghatározott $I$ áramerősségű, $R$ sugarú körvetető terének meghatározása a tengely mentén, a köráram síkjától $z$ távolságban. A Biot-Savart törvényt fogjuk alkalmazni:

$$\vec{B}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{\vec{dl}\times \vec{r}}{|r|^3}$$

A vizsgált tengelypontból a körvezető adott infinitezimális $dl$ szakaszából húzott $\vec{r}$ sugarak egy $z$ magasságú kúpot határoznak meg az ábra szerint.

[[Kép:KFGY2-6-11uj.png|none|300px]]

Mivel a kúp $\vec{r}$ alkotói mindig merőlegesek a körvezető $\vec{dl}$ érintőire, a Biot-Savart törvény alapján egy elemi $dl$ hosszúságú vezetékdarab által vizsgált pontban keltett $dB$ indukció komponens nagysága a következőképp alakul:

$$dB=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \dfrac{dl}{r^2}$$

A $dB$ elemi indukció vektor merőleges az őt keltő $\vec{dl}$ vezető darabra, és a hozzá vezető $\vec{r}$ alkotóra. A rendszer hengerszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a $\vec{dB}$ vektorok alaplappal párhuzamos komponensei kioltják egymást, a tengely irányú komponensek viszont konstruktívan összegződnek. A merőleges szárú szögek tétele alapján beláthatjuk, hogy $\vec{dB}$ vektor az alaplappal $\beta$ szöget zár be, ahol $\beta$ a kúp alkotója és forgástengelye által bezárt szög. Geometriai megfontolások alapján:

$$\sin(\beta)=\dfrac{R}{r}$$

Tehát a $\vec{dB}$ függőleges komponense:

$$dB_z=dB\sin(\beta)=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \dfrac{dl}{r^2}\dfrac{R}{r}=\dfrac{\mu_0 I R}{4 \pi r^3} dl$$

Ahol a vezető $dl$ elemi szakaszdarabja parametrizálható a az infinitezimális ívelem $d\varphi$ középponti szögével:

$$dl=Rd\varphi$$

$$dB_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{4 \pi r^3} d\varphi$$

Az teljes gyűrű által keltett mágneses indukciót meghatározhatjuk, ha a $dB_z$ járulékokat felösszegezzük a gyűrű teljes körére:

$$B_z=\int dB_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{4 \pi r^3} \int_0^{2\pi} d\varphi=\dfrac{\mu_0 I R^2}{4 \pi r^3}2\pi=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 r^3}$$

Kihasználva, hogy:

$$r^2=R^2+z^2$$

Az indukció nagysága a $z$ függvényében:

$$B_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}}$$

</wlatex>
</noinclude>