Magnetosztatika példák - Szolenoid mágneses tere 2. (Biot-Savart) forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Magnetosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Magnetosztatika - Erőhatások mágneses térben
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Határozzuk meg a mágneses indukció nagyságát egy $R$ sugarú, $l$ hosszúságú, $N$ menetű szolenoidban, amelyben $I$ áram folyik, Biot-Savart törvény segítségével.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=
$$\lim_{R/l \to 0}B=\lim_{R/l \to 0}\dfrac{\mu_0 NI}{\sqrt{4R^2+l^2}}=\dfrac{\mu_0 NI}{l}$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
Éljünk azzal a közelítéssel, hogy a szolenoid nem tekercs, hanem egy folytonos vezető hengerpalást, melyben összesen $NI$ áram folyik egyenletes $j$ felületi áramsűrűséggel, a henger palástján körbefutó köráramok formájában.
Határozzuk meg a $j$ felületi áramsűrűség nagyságát:

$$j=\dfrac{NI}{l}$$

Essen egybe a szolenoid tengelye a koordinátarendszer $z$ tengelyével, a szolenoid középpontja pedig az origóval! Bontsuk fel a szolenoidot modellező hengerpalástunkat $dz$ szélességű elemi gyűrűkre. Egy elemi gyűrűben folyó $dI$ áram nagysága:

$$dI=jdz=\dfrac{NI}{l}dz$$

A szolenoid terét meghatározhatjuk úgy, hogy a sok infinitezimális $dI$ árammal átjárt $R$ sugarú gyűrű által keltett teret összegezzük az origóban, vagyis a szolenoid középpontjában. A problémát az jelenti, hogy minden egyes köráram az origótól eltérő $z$ távolságra helyezkedik el. Szerencsére az $I$ árammal átjárt, $R$ sugarú gyűrű terét ismerjük tengelyének minden pontjában a [[Magnetosztatika példák - Körmozgást végző töltött test mágneses tere|Körmozgást végző töltött test mágneses tere]] b.) feladatának megoldásából:

$$B=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}}$$

Tehát a mi esetünkben az infinitezimális $dI$ árammal átjárt gyűrű elemi indukció járuléka:

$$dB=\dfrac{\mu_0 R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}} dI=\dfrac{\mu_0 NI R^2}{2l (R^2+z^2)^{3/2}} dz$$

A szolenoid középpontjában úgy kaphatjuk meg a teljes teret, ha az elemi áramgyűrűk terét felösszegezzük a szolenoid elejétől a végéig:

$$B=\int dB=\dfrac{\mu_0 NI R^2}{2l} \int_{-l/2}^{l/2}\dfrac{1}{(R^2+z^2)^{3/2}} dz$$

Az integrált kiszámolva:

$$B=\dfrac{\mu_0 NI R^2}{2l} \left[ \dfrac{z}{R^2(R^2+z^2)^{1/2}} \right]_{-l/2}^{l/2}=\dfrac{\mu_0 NI}{\sqrt{4R^2+l^2}}$$

Megjegyzés:

Megoldásunkat érdemes összevetni a [[Magnetosztatika példák - Szolenoid mágneses tere (Ampere-féle gerjesztés)|Szolenoid mágneses tere (Ampere-féle gerjesztés)]] feladatának eredményével, ahol az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével vezettük le a szolenoid terének jól ismert formuláját:

$$B=\dfrac{\mu_0 NI}{l}$$

Vegyük a jelen feladat eredményének azt a határesetét, amikor a tekercs $R$ keresztmetszeti sugara elhanyagolható a tekercs $l$ hosszához képest:

$$\lim_{R/l \to 0}B=\lim_{R/l \to 0}\dfrac{\mu_0 NI}{\sqrt{4R^2+l^2}}=\dfrac{\mu_0 NI}{l}$$

Tehát határértékben visszakapjuk a gerjesztési törvényből származó formulát. A fenti gondolatmenet azonban megmutatta, hogy alkalmazása csak akkor ad pontos eredményt, ha a tekercs keresztmetszete jóval kisebb, mint a hossza.

</wlatex>
</noinclude>