Magnetosztatika példák - Tömör hengeres vezető öninduktivitása forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Magnetosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Magnetosztatika - Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy $R$ sugarú tömör hengeres vezető (relatív permeabilitása $\mu_r$) $l$ hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Phi=\dfrac{\mu_0 l I}{4\pi}$$ $$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>
Folyjon $I$ áram a vezetékben. Ekkor homogén árameloszlás esetén az áramsűrűség nagysága:

$$j=\dfrac{I}{R^2\pi}$$

Ennek ismeretében határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezeték belsejében. Vegyünk fel egy $r<R$ sugarú kört, melynek tengelye egybeesik a vezeték tengelyével. A felvett kör által határolt területen átfolyó áramerősség:

$$I(r)=jr^2\pi=\dfrac{I}{R^2\pi}r^2\pi=I\dfrac{r^2}{R^2}$$

Az áram ismeretében felírhatjuk a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt:


$$I(r)=\oint{}\vec{H(r)} \vec{dl}$$

A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk:

$$I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r H(r)$$

A mágneses tér nagyságának helyfügése a vezeték belsejében tehát:

$$H(r)=\dfrac{I}{2\pi R^2}r$$

A mágneses indukció pedig:

$$B(r)=\dfrac{\mu_0\mu_r I}{2\pi R^2}r$$

A mágneses indukció fluxusát kiszámíthatjuk az $l$ hosszúságú vezetékdarab belsejében:

$$\Phi=\int{}BdA=l\int_{0}^{R}B(r)dr=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{2\pi R^2}\int_{0}^{R}rdr=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{2\pi R^2} \dfrac{R^2}{2}=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{4\pi}$$

A vezetékdarab belsejében levő tér okozta öninduktivitás:

$$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0\mu_r l}{4\pi}$$
</wlatex>
</noinclude>