Mechanika - Fémhuzal önsúllyal forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Gombkötő]]
[[Kategória:Mechanika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Mechanika - Rugalmasság, folyadékok
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># (*5.2.) Egy erőmentes állapotban  $l_0$ hosszúságú, vékony fémhuzalt egyik végénél fogva függőleges helyzetben lelógatunk. A fém sűrűsége $\rho$, Young-modulusa  $E$, egyenletes keresztmetszete pedig $A$. 
#: a) Mennyivel változik meg a huzal hossza? 
#: b) Mennyi lesz a megnyúlás, ha a huzal alsó végére egy m tömegű testet akasztunk?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A teljes hosszváltozást úgy kaphatjuk meg, hogy a huzal kis szakaszainak hosszváltozását összegezzük fel.}}{{Végeredmény|content=$$\Delta l=\frac{\rho l_0^2g}{2E}$$ $$\Delta l_2=\Delta l+\frac{mg}{EA}l_0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>A huzal hosszváltozását az önsúlya idézi elő lelógatott állapotában. Feltesszük, hogy a $g$ nehézségi gyorulás a huzal mentén állandó. A teljes hosszváltozást úgy kaphatjuk meg, hogy a huzal kis szakaszainak hosszváltozását összegezzük fel. A kis szakaszok (relatív) megnyúlása a huzal mentén változik a szintén változó feszültségi állapot miatt. A huzal aljától $x$ távolságra található $\text{d}x$ hosszúságú szakasz feszültsége $\sigma(x)=\rho x g,$ amely a Hooke-törvény szerint $E\frac{\Delta(\text{d}x)}{\text{d}x}$-vel is egyenlő, ahol a számláló a kis szakasz megnyúlása. Ezt kifejezve $\Delta(\text{d}x)=\frac{\rho x g}E \text{d}x$, mely a huzal teljes (eredeti) hosszára integrálva adja a teljes megnyúlást: $$\Delta l=\int_0^{l_0}\Delta(\text{d}x)=\int_0^{l_0}\frac{\rho x g}E\text{d}x=\frac{\rho l_0^2g}{2E}$$ Ha további $m$ tömeget akasztunk a huzal végére, a feszültség kifejezésében egy plusz $\frac{mg}A$ tag jelenik meg, így végül a teljes megnyúlás $$\Delta l_2=\Delta l+\frac{mg}{EA}l_0$$</wlatex>
</noinclude>