Mechanika - Gömb felületén lévő tengellyel forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Gombkötő]]
[[Kategória:Mechanika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Mechanika - Merev testek I.
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># (*3.2.4.) $R$ sugarú $m$ tömegű gömböt egy, sugarának gömbfelület menti végpontján átmenő tengely körül megforgatunk.
#: a) Mekkora a gömb adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, ha súlyponti tengelyére vonatkozóan  $\theta_{\text{TKP}}=\frac25mR^2$?
#: b) Mekkora nyomatékra van szükség ahhoz, hogy $\beta$ nagyságú szöggyorsulással tudjuk forgásba hozni?
#: c) Hogyan kell változni az idő függvényében azon energiaforrás teljesítményének, amely az állandó $\beta$ szöggyorsulást biztosítani képes, ha a gömb a $t=0$ időpontban nyugalomból indult?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\theta=\frac75mR^2.$$ $$P(t)=\frac75mR^2\beta^2t.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>A megadott tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a Steiner-tétel szerint $$\theta=\theta_{\rm{TKP}}+mR^2=\frac75mR^2.$$ A szükséges forgatónyomaték $$M=\theta\beta=\frac75mR^2\beta.$$ A $t$ időpontban szükséges pillanatnyi teljesítmény $P(t)=\vec{F}(t)\vec{v}(t)$ analógiájára $P(t)=\vec{M}(t)\vec{\omega}(t)$, amelyben a vektorok most egyirányúak és $\omega=\beta t$, így $$P(t)=\frac75mR^2\beta^2t.$$ A pillanatnyi teljesítmény megkapható az $$E_{\text{forg}}=\frac12\theta\omega^2(t)$$ mozgási/forgási energia kifejezés idő szerinti deriválásából is.</wlatex>
</noinclude>